1. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Henry Ford si raz robil skúšobnú jazdu prvým prototypom nového vynálezu. Išiel po dlhej rovnej ceste stále rovnakou rýchlosťou. Po chvíli uvidel míľnik s dvojciferným číslom. O hodinu neskôr uvidel míľnik s dvojciferným číslom s rovnakými ciframi, ale v opačnom poradí. Po ďalšej hodine cesty uvidel opäť míľnik s tými istými ciframi (v nejakom poradí), tentoraz však oddelenými nulou. Akou rýchlosťou išiel Ford na skúšobnej jazde?
Poznámka: Stĺpy pri cestách, osadené vždy vo vzdialenosti jednej míle od seba, sa nazávajú mílniky. Nachádza sa na nich číselný údaj udávajúci vzdialenosť od východzieho miesta.Vzorové riešenie
V zadaní sa spomínajú čísla, ktoré nepoznáme, no vieme nejaké vlastnosti o ich cifrách. V takýchto prípadoch je veľmi praktické označiť si tieto cifry písmenkami. Prvý míľnik teda bude v tvare \overline{AB} , druhý v tvare \overline{BA} a tretí buď \overline{A0B} , alebo \overline{B0A} . Pričom \overline{AB} nereprezentuje súčin cifier A a B , ale jednotlivé cifry nejakého čísla, čo je dôvod, prečo nad tým píšeme čiarku.
Ďalšia vec, čo sa oplatí, je zamýšľať sa a postupne vymedzovať aké hodnoty môžu nadobúdať tieto cifry.
Akú maximálnu hodnotu teda môže nadobúdať tretí míľnik? Vieme, že hodnotu tretieho míľniku vypočítame ako súčet Fordovej rýchlosti a hodnoty na druhom míľniku. Čo vieme o týchto číslach? Keďže hodnota Fordovej rýchlosti je rozdielom hodnôt na druhom a prvom míľniku, ktoré sú oba dvojciferné, najviac dvojciferná bude aj táto rýchlosť. Keď od dvojciferného čísla odpočítavam dvojciferné, viem dostať najviac dvojciferné číslo. Takže tretí míľnik, je súčtom dvoch dvojciferných čísel - rýchlosti a druhého míľniku.
Keďže súčet dvoch najväčších dvojciferných čísel je najviac 99 + 99 = 198, vieme, že jedno z čísel A alebo B musí byť 1 . Keďže obe čísla sú dvojciferné, tak ani jedna z cifier nemôže byť 0 . Zároveň, keďže Ford ide stále konštantnou rýchlosťou a tretí míľnik je najväčší, tak vieme že druhý míľnik bude musieť byť tiež väčší ako prvý, takže aj jeho začiatočná cifra bude musieť byť väčšia, čo si vieme zapísať ako A \lt B. Tým pádom keďže ani jedna z cifier nie je 0 a jedna musí byť 1 , tak potom A musí byť 1.
Od tohto momentu vieme v našom riešení pokračovať viacerými spôsobmi:
Riešenie pomocou skúšania
Pri skúšaní sa vždy oplatí postupovať systematicky, preto skúšame v tabuľke, kde pre každé B najprv vypočítame hodnotu tretieho míľniku a potom ju porovnáme s hodnotou, ktorú by sme chceli aby tretí míľnik mal:
B | \overline{B1} + (\overline{B1} - \overline{1B}) = ? | \overline{A0B} |
2 | 21 + (21 - 12) = 30 | 102 |
3 | 31 + (31 - 13) = 49 | 103 |
4 | 41 + (41 - 14) = 68 | 104 |
5 | 51 + (51 - 15) = 87 | 105 |
6 | 61 + (61 - 16) = 106 | 106 |
7 | 71 + (71 - 17) = 125 | 107 |
Ďalej ako po 7 už vidíme, že skúšať netreba, keďže sa nám hodnoty na treťom míľniku budú len zväčšovať, a teda nebudú mať na mieste desiatok 0, ako by to malo podľa zadania byť.
Z tohto nám už vyšlo jasné riešenie, hodnoty míľnikov sú 16, 61 a 106. Rozdiel medzi nimi je vždy 45, čo je aj Fordova rýchlosť.
Riešenie pomocou rovníc
Fakt, že tretí míľnik je súčtom druhého a rýchlosti, si vieme zapísať nasledovne:
\overline{B1} + (\overline{B1} - \overline{1B}) = \overline{10B} ,
pričom ide o cifry a nie o súčin, ako naznačuje čiara nad číslami.
Takéto rovnice, kde neznáme znamenajú cifry a nie čísla, sú celkom nepraktické. My ale vieme, že pre číslo \overline{B1} platí, že \overline{B1} = 10 \cdot B + 1. Poďme si teda rovnicu zapísať takto upravenú a riešme:
\begin{aligned}10 \cdot B + 1 + 10 \cdot B + 1 - 10 - B &= 100 + B \\ 20 \cdot B - B + 2 - 8 &= 100 + B \\ 19 \cdot B - 8 &= 100 + B &/+ 8, - B \\ 18\cdot B &= 108 \\ B &= 6\end{aligned}
Z tohto nám opäť vyšlo B = 6 tak ako v riešení vyššie.
Odpoveď:
Ford išiel rýchlosťou 45 míľ za hodinu.