7. príklad - Vzorové riešenie

Zamyslime sa najprv ako si vieme naše zadanie nejako rozumne zapísať. Po sebe idúce čísla vždy stúpajú o 1​. Takže ak by to prvé bolo x​, tak potom Schrödingerovské číslo bude vyzerať takto:

x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)+(x+7)+(x+8)​

T​oto vieme ľahko upraviť na 9x+36 = 9 \cdot (x + 4)​. Z takéhoto tvaru vidíme, že každé Schrödingerovské číslo bude deliteľné \textbf 9.

Bohrovské číslo vieme podobne zapísať pre ľubovoľné prirodzené y​ ako: 

y+(y+1)+(y+2)+(y+3)+(y+4)+(y+5)+(y+6)+(y+7)+(y+8)+(y+9) = 10y+45 = 5 \cdot (2y + 9)​

Teda každé Bohrovské číslo musí byť deliteľné 5​. Ak sa pozrieme ešte na predošlú úpravu, 10y + 45​, všimneme si, že keďže 10y​ bude mať vždy na mieste jednotiek cifru 0​ a číslo 45​ tam bude mať vždy cifru 5​, tak Bohrovské číslo musí mať na mieste jednotiek cifru \textbf 5​. Inými slovami, keďže zátvorka (2y + 9)​ bude vždy nepárna, Bohrovské číslo bude vždy nepárnym násobkom 5​.

Planckovské číslo vieme pre ľubovoľné prirodzené z​ zapísať ako: 

z+(z+1)+(z+2)+(z+3)+(z+4)+(z+5)+(z+6)+(z+7)+(z+8) +(z+9)+(z+10) = 11z+55 = 11 \cdot (z + 5)​. 

Z čoho vidíme, že Planckovské číslo bude deliteľné \textbf {11}​. 

Zhrňme si teda podmienky, ktoré musí spĺňať číslo v superpozícii:

• bude deliteľné 9​

• bude mať na mieste jednotiek 5​

• bude deliteľné 11​

Čísla, ktoré toto splnia majú šancu byť v superpozícii. Najmenšie také číslo je najmenší spoločný násobok 5​, 9​ a 11​, ktorý je 495​. Vidíme, že čísla sú nesúdeliteľné, a teda ich najmenší spoločný násobok bude ich súčinom. Musíme si však ešte overiť, že číslo 495​ je skutočne v superpozícii, keďže nie všetky spoločné násobky 5​, 9​ a 11​ budú spĺňať zadanie (990 = 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 11​ napríklad nie je Bohrovské, keďže nekončí 5​).

Ako teda nájdeme 9​, 10​ a 11​ čísel, ktorých súčet vie byť 495​? Využijeme rovnice, čo máme vyššie:

495 = 9x + 36 = 10y + 45 = 11z + 55​. Keďže vieme nájsť celé x = 51​, y = 45, z = 40​ tak číslo 495​ môžeme považovať za vyhovujúce zadaniu. Menšie už nie je, keďže neexistuje menšie číslo, ktoré je deliteľné 5​, 9​ a 11​ zároveň.

Iné riešenie

Tri najmenšie Schrödingerovské čísla sú 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45​, 2+3+4+5+6+7+8+9+10=54 a 3+4+5+6+7+8+9+10+11=63​. Z toho si môžeme všimnúť, že vyzerá, že každé ďalšie číslo bude o 9​ väčšie ako to prechádzajúce. Zamyslime sa nad tým aký je rozdiel medzi dvomi po sebe idúcimi Schrödingerovskými číslami. 

Ak máme nejaké Schrödingerovské číslo tvaru x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)+(x+7)+(x+8)​, tak najbližšie väčšie Schrödingerovské číslo je (x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)+(x+7)+(x+8)+(x+9)​. Z toho odčítaním týchto dvoch výrazov vidíme, že rozdiel medzi dvomi po sebe idúcimi Schrödingerovskými číslami je vždy -x+(x+9)=9​. Teda keďže najmenšie Schrödingerovské číslo je deliteľné 9​ a každé väčšie číslo je o 9​ väčšie, tak každé Schrödingerovské číslo bude deliteľné \textbf 9​.

Analogicky to platí pre 10​ a 11​. Pri 10​ nám ale vyjde, že máme zvyšok 5​. Týmpádom máme ukázanú deliteľnosť číslami 9​, 5​, 11​ a ďalej  už postupujeme ako popísané vyššie až kým sa nedopracujeme k číslu 495. Opäť je je na konci riešenia potrebná skúška.

Iné riešenie

K sčítavaniu po sebe idúcich čísel od n​ po  n+k môžeme pristupovať aj pomocou vzorca na výpočet k po sebe idúcich čísel ktorý vyzerá nasledovne:

k \cdot {\frac {(n)+(n+k)} {2}}​​

Môžme si do tohto vzroca napríklad dosadiť Schrödingerovské číslo ktoré je súčtom čísel od n po n+8​
:

9 \cdot {\frac {(n)+(n+8)} {2}} = {\frac {18n+72} {2}} = 9n + 36 = 9 \cdot (n + 4)​, z čoho opäť vieme vidieť deliteľnosť 9​. Analogicky vieme spraviť niečo podobné aj pre 10​ a 11. Ďalej už vieme postupujeme ako popísané vyššie. Opäť je na konci riešenia potrebná skúška.