Kategórie:
5
6

Zadanie

Vždy, keď električka zastavila na zastávke, stalo sa toto:

  • ak bolo v električke aspoň 7 cestujúcich, tak ich 7 vystúpilo,
  • ak bolo v električke menej ako 7 cestujúcich, tak 5 nových cestujúcich pristúpilo.

Električkár sa pýtal Fyodora pár zvedavých otázok:

  1. Ak je na začiatku v električke 300 cestujúcich, stane sa niekedy, že sa celá vyprázdni?
  2. Môže byť v električke na začiatku taký počet cestujúcich, že sa električka nikdy nevyprázdni? Ak áno, aký? Ak nie, prečo?

Vzorové riešenie

Opravovali: alytsa, katka_gersova, repepe

Prvé, čo nám napadne, je skúsiť manuálne odčítavať po siedmich, až kým sa nedostaneme k číslu, ktoré je menšie ako 7​. Rýchlejšia cesta k tomuto číslu, je pomocou delenia so zvyškom:

300 \div 7 = 42 zv. 6​​

To, čo sa bude diať s cestujúcimi ďalej, si vieme zapísať do tabuľky:

zastávka
počet cestujúcich
zmena
počet po zmene
1.
6​​+5​​11​​
2.
11​​-7​​4​​
3.
4​​
+5​​9​​
4.
9​​
-7​​​
2​​
5.
2​​
+5​​7​​
6.
7​​-7​​0​​

Takže vidíme, že pre 300​ cestujúcich sa električka celá vyprázdni.

Poďme sa teraz zamyslieť, ako to funguje vo všeobecnosti, pre akýkoľvek počet cestujúcich. Skúsme aplikovať podobnú úvahu so zvyškom, ako sme spravili pre počet 300​. Vieme to tak ale spraviť pre každé číslo? Pozrime sa na tento obrázok:​

Ak si počet ľudí predstavíme na číselnej osi, vidíme, že pre akýkoľvek počet cestujúcich dostaneme vždy jeden so zvyškov sedmičky. Napríklad, všetky oranžové čísla určite vedú k zvyšku 6​, a to preto, lebo sú od seba vzdialené 7​ dielikov a cestujúci vždy vystupujú po siedmich. Podobne, všetky tmavomodré čísla vedú k zvyšku 1​. Z tohto je už teraz napríklad jasné, že ak je počet cestujúcich v električke deliteľný siemimi (tmavočervený), tak sa električka vyprázdni.

To znamená, že nám stačí pozrieť sa na jednotlivé zvyšky. Vedeli by sme ich samozrejme prejsť aj všetky, no ak začneme zvyškom 5​, ušetríme si celkom veľa práce. Tabuľka, kde začneme s 5​ cestujúcimi bude vyzerať takto:

zastávka
počet cestujúcich
zmena
počet po zmene
1.
5
+5​​
10​​
2.
10​​
-7​​
3​​
3.
3
+5​​
8​​
4.
8​​
-7​​
1​​
5.
1
+5​​
6​​
6.
6
+5​​
11​​
7.
11​​
-7​​
4​​
8.
4
+5​​
9​​
9.
9​​
-7​​
2​​
10.
2
+5​​
7​​
11.
7​​
-7​​
0​​

Vidíme, že v tejto tabuľke máme všetky zvyšky po delení siedmimi a táto tabuľka jasne vedie k počtu nula, čo znamená, že nech máme číslo s akýmkoľvek zvyškom po delení 7 električka sa vždy vyprázdni.​