2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Vždy, keď električka zastavila na zastávke, stalo sa toto:
- ak bolo v električke aspoň 7 cestujúcich, tak ich 7 vystúpilo,
- ak bolo v električke menej ako 7 cestujúcich, tak 5 nových cestujúcich pristúpilo.
Električkár sa pýtal Fyodora pár zvedavých otázok:
- Ak je na začiatku v električke 300 cestujúcich, stane sa niekedy, že sa celá vyprázdni?
- Môže byť v električke na začiatku taký počet cestujúcich, že sa električka nikdy nevyprázdni? Ak áno, aký? Ak nie, prečo?
Vzorové riešenie
Prvé, čo nám napadne, je skúsiť manuálne odčítavať po siedmich, až kým sa nedostaneme k číslu, ktoré je menšie ako 7. Rýchlejšia cesta k tomuto číslu, je pomocou delenia so zvyškom:
300 \div 7 = 42 zv. 6
To, čo sa bude diať s cestujúcimi ďalej, si vieme zapísať do tabuľky:
| zastávka | počet cestujúcich | zmena | počet po zmene |
|---|---|---|---|
1. | 6 | +5 | 11 |
2. | 11 | -7 | 4 |
3. | 4 | +5 | 9 |
4. | 9 | -7 | 2 |
5. | 2 | +5 | 7 |
6. | 7 | -7 | 0 |
Takže vidíme, že pre 300 cestujúcich sa električka celá vyprázdni.
Poďme sa teraz zamyslieť, ako to funguje vo všeobecnosti, pre akýkoľvek počet cestujúcich. Skúsme aplikovať podobnú úvahu so zvyškom, ako sme spravili pre počet 300. Vieme to tak ale spraviť pre každé číslo? Pozrime sa na tento obrázok:
Ak si počet ľudí predstavíme na číselnej osi, vidíme, že pre akýkoľvek počet cestujúcich dostaneme vždy jeden so zvyškov sedmičky. Napríklad, všetky oranžové čísla určite vedú k zvyšku 6, a to preto, lebo sú od seba vzdialené 7 dielikov a cestujúci vždy vystupujú po siedmich. Podobne, všetky tmavomodré čísla vedú k zvyšku 1. Z tohto je už teraz napríklad jasné, že ak je počet cestujúcich v električke deliteľný siemimi (tmavočervený), tak sa električka vyprázdni.
To znamená, že nám stačí pozrieť sa na jednotlivé zvyšky. Vedeli by sme ich samozrejme prejsť aj všetky, no ak začneme zvyškom 5, ušetríme si celkom veľa práce. Tabuľka, kde začneme s 5 cestujúcimi bude vyzerať takto:
| zastávka | počet cestujúcich | zmena | počet po zmene |
|---|---|---|---|
1. | 5 | +5 | 10 |
2. | 10 | -7 | 3 |
3. | 3 | +5 | 8 |
4. | 8 | -7 | 1 |
5. | 1 | +5 | 6 |
6. | 6 | +5 | 11 |
7. | 11 | -7 | 4 |
8. | 4 | +5 | 9 |
9. | 9 | -7 | 2 |
10. | 2 | +5 | 7 |
11. | 7 | -7 | 0 |
Vidíme, že v tejto tabuľke máme všetky zvyšky po delení siedmimi a táto tabuľka jasne vedie k počtu nula, čo znamená, že nech máme číslo s akýmkoľvek zvyškom po delení 7 električka sa vždy vyprázdni.