7. príklad - Vzorové riešenie

Označíme si D stred kružnice s dotykovým bodom A a C stred kružnice s dotykovým bodom B.

Priamka tvorená stredom kružnice a dotykovým bodom je kolmá na dotyčnicu. To znamená, že | \measuredangle DAB| = 90 \degree a | \measuredangle CBA| = 90 \degree.

DX aj DA sú polomermi kružnice so stredom D, takže r_1 = |DX| = |DA|. To znamená, že trojuholník AXD je rovnoramenný trojuholník so základňou AX. Potom platí |\measuredangle DXA| = |\measuredangle DAX| = \alpha a tým pádom |\measuredangle XAB| = 90 \degree - \alpha. CX aj CB sú polomermi kružnice so stredom C, takže r_2 = |CX| = |CB|. To znamená, že trojuholník BXC je rovnoramenný trojuholník so základňou BX. Potom platí |\measuredangle CBX| = |\measuredangle CXB| = \beta a tým pádom |\measuredangle XBA| = 90 \degree - \beta.

Súčet vnútorných uhlov \triangle ABX je 180 \degree:

180 \degree = |\measuredangle AXB| + |\measuredangle ABX| + |\measuredangle BAX|,
180 \degree = \gamma + (90 \degree - \beta) + (90^\circ - \alpha),
180 \degree = 180 \degree + \gamma - \alpha - \beta,
\gamma = \alpha + \beta.

Keďže X je spoločný dotykový bod kružníc, tak X leží na úsečke CD. Uhol CXD je priamy a má 180 \degree.180 \degree = \alpha + \beta + \gamma, dosadením výsledku z predošlej rovnice dostávame 180^\circ = 2 \cdot \alpha + 2 \cdot \beta a predelením 2 dostaneme 90 \degree = \alpha + \beta = \gamma. Tým sme dostali, že \measuredangle AXB = 90 \degree.

Iné riešenie

Označíme si stredy kružníc C a D rovnako, ako v prvom vzorovom riešení. Dokreslíme do obrázku spoločnú dotyčnicu kružníc prechádzajúcu bodom X a priesečník tejto dotyčnice s dotyčnicou t označíme E.

Podľa osovej súmernosti s osou ED sa bod A sa zobrazí do bodu X. Preto bude |AE|=|EX|. Rovnako podľa osovej súmernosti s osou EC sa bod B zobrazí do bodu X. Preto bude |BE|=|EX|. Toto je všeobecná vlastnosť dotyčníc ku kružnici z bodu - dĺžky k dvom bodom dotyku budú rovnaké.

Ak sa to zdá neintuitívne, túto osovú súmernosť si môžeme predstaviť aj ako keby sme na papier nakreslili kružnicu a dotyčnice a potom papier preložili podľa priamky DE. Keďže kružnica je zjavne symetrická podľa jej priemeru, cez ktorý sme ju preložili, aj A sa zobrazí do X.

Trojuholníky AXE a XBE sú kvôli rovnakým dĺžkam dotyčníc rovnoramenné, takže ich uhly pri základniach sú rovnako veľké. Označíme si uhly v AXE \alpha a v XBE \beta. Môžeme si všimnúť, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka AXB je 2 \cdot \alpha + 2 \cdot \beta = 180^\circ. Teda \alpha + \beta = 90^\circ, takže AXB je pravý.

Komentár

Väčšina z vás to zvládla naozaj super. Jediné, čo odporúčame pri riešení geometrických úloh je, že nestačí len rysovať. Pri rysovaní budete úlohu riešiť len pre jedny konkrétne dĺžky strán, veľkosti uhlov... V úlohe sa pokúšame danú vlastosť dokázať pre všetky možné prípady a preto používame všeobecné značenie uhlov a strán, s ktorými potom pracujeme v rovniciach, ktoré budú platiť pre všetky prípady.

Väčšina riešiteľov úlohu riešila prvým spôsobom s občasnými drobnými obmenami. Rozhodli sme sa uviesť aj druhé riešenie využívajúce fakt, že dve dotyčnice z toho istého bodu k tej istej kružnici sú vždy rovnako dlhé. Je to užitočná vlastnosť s ktorou sa v geometrii môžete pomerne často stretnúť.