6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Stará mama a Babička hrajú hru na poli, ktoré je štvorčeková sieť veľkosti 5\times 5. Babky sa striedajú v ťahoch. Vo svojom ťahu babka hodí balkón svojej farby (zafarbí políčko) na práve jedno ešte nezafarbené políčko. Keď už budú všetky políčka zafarbené, hra končí. Vyhráva tá, ktorej obvod všetkých jej políčok je dlhší (ak sú obvody rovnaké, nevyhrá nikto). Začína Stará mama. Vie niektorá babka vždy vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá tá druhá? Ak áno, ako, a ak nie, prečo?
Po skončení hry môže pole vyzerať napríklad takto:
Tu vyhrala Babička s obvodom 10+6+10=26, Stará mama mala obvod len 24.
Vzorové riešenie
V tejto hre vyhráva ten, kto má väčší obvod svojho územia. Musíme si uvedomiť, že my v skutočnosti nepotrebujeme určiť presný obvod územia, avšak iba rozdiel obvodov. Preto sa poďme bližšie pozrieť, kde takýto rozdiel obvodu vzniká.
Kde dostávajú hráči bodíky za dĺžku obvodu? Práve tam, kde políčko zafarbené ich farbou susedí buď so súperovým políčkom, alebo s okrajom. Poďme sa pozrieť na obe tieto možnosti:
a) dve políčka rôznej farby vedľa seba
Kto dostane koľko bodov? Obaja hráči dostanú práve jeden bod. To znamená, že sa rozdiel ich obvodov nezmení.
b) políčko farby hráča susediace s okrajom hracieho plánika
Tu získava bod iba hráč, ktorý políčko zafarbil.
Z týchto možností teda vidíme, že rozdiel v bodoch sa bude diať iba v možnosti b. Vieme, že každé políčko hracej plochy bude zafarbené, a pozrime sa, kde nám vzniknú, ktoré možnosti krajov. Zelenou si zaznačíme prvú možnosť, oranžovou druhú.
Vidíme, že v strede hracej plochy nám môžu vzniknúť iba hrany, ktoré pripočítajú bod obom hráčom, a tak nás vôbec nezaujímajú. Naopak, tie ktoré sú pri kraji, dávajú bodový rozdiel. Špeciálne sa zameriame na políčka v rohoch, lebo tie dajú body až dva. To znamená, že víťaza vieme určiť len z počtu zabratých políčok na kraji a v rohu.
Takže, vie niektorá babka vždy vyhrať? Máme 4 rohové štvorčeky a 12 krajných (nerohových). To znamená, že ak si obe babky na začiatku zoberú po 2 rohové štvorčeky, už žiadne nezostanú, tak si poberú striedavo každá 6 krajných. Zvyšné políčka už nie sú podstatné, takže nastane remíza. Prvá babka nemá ako hrať lepšie, keďže tá druhá si vie vždy zobrať rovnaké políčko, ako si práve zobrala prvá. Rohové aj krajové si teda podelia rovnomerne.
Podobne, ak bude prvá babka brať rohové vždy, keď to pôjde a okrajové nerohové inak, druhá babka bude mať určite rohových najviac toľko ako prvá. Taktiež okrajových všetkých dokopy, keďže buď si po prvej babka vezme, alebo príležitosť prepásne. Ľahko vidíme, že za takejto situácie nedostane viac bodov ako prvá babka.
Odpoveď: Ani jedna babka nevie hrať tak, aby vyhrala bez ohľadu na to, čo spraví druhá.
Bodovanie
Strhávali sme body najmä za "lenivé" odôvodnenia, inak sa až tak veľa bodov nestrhlo.