Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Počet krokodílov vieme zapísať ako kladné celé číslo n také, že keď ho zaokrúhlime
- na 15,
- na 49,
- najprv na 15 a tento výsledok potom na 49,
- najprv na 49 a tento výsledok potom na 15,
tak dostaneme 4 rôzne čísla. Aké najmenšie môže byť n? Nezabudnite vysvetliť, prečo už nemôže byť menšie.
Poznámka: Číslo a zaokrúhlené na b je násobok čísla b najbližší k číslu a (vrátane 0). Napríklad číslo 7 zaokrúhlené na 3 je 6, ale 8 zaokrúhlené na 3 je 9.Vzorové riešenie
Zaokrúhľovanie budeme v riešení označovať znakom \doteq, pričom v zátvorke bude vždy napísané na aké číslo zaokrúhľujeme. Napríklad 18 \doteq (15) 15.
Keďže hľadáme najmenší možný počet krokodílov n, skúsme ísť postupne od 0 a vylúčiť všetky nevyhovujúce čísla, až kým nenájdeme také, ktoré spĺňa podmienky zo zadania.
Na malých číslach blízko 0 si hneď všimneme, že nevyhovujú. Akonáhle nám totiž pri nejakom malom čísle vyjde pri zaokrúhľovaní ≐ (49) nula, tak pri ≐ (49 a potom 15) dostaneme vždy znovu nulu. Podobne to je aj pre zaokrúhľovanie na 15, a potom na 49. Napríklad n = 2. Potom 2 ≐ (15) 0 a aj 2 ≐ (15 a potom 49) 0.
Pri akom najmenšom čísle už nebudeme mať pri zaokrúhľovaní nulu? Pri zaokrúhľovaní na 15 to bude vtedy ak bude n bližšie k 15 ako k 0. Polovica z 15 je 7{,}5, takže 7 sa bude zaokrúhľovať na 0, ale 8 sa už bude zaokrúhľovať na 15.
Pri zaokrúhľovaní na 49 to bude podobne, 49 : 2 = 24{,}5, takže 24 ≐ (49) 0, ale 25 ≐ (49) 49. Z tohto vyplýva, že hľadané n musí byť určite väčšie ako 24, v opačnom prípade by sa nám vo výsledkoch zaokrúhľovania objavili aspoň dve nuly.
Zoberme si ďalej všetky čísla n ≐ (49) 49 Sú to čísla 25 až 73. Spĺňať zadanie ale môže niektoré z nich iba vtedy, keď po zaokrúhlení na 15 nedostaneme znova číslo medzi 25 a 73. Vtedy by sa pri treťom zaokrúhľovaní≐ (49 a 15) číslo zaokrúhlilo opäť na 49. Potom by sme medzi týmito rôznymi výsledkami mali dve 49.
Pozrime sa teda ako sa zaokrúhľujú čísla na 15:
- 25 až 37 sa zaokrúhlia na 30,
- 38 až 52 sa zaokrúhlia na 45,
- 53 až 67 sa zaokrúhlia na 60,
- 68 až 73 sa zaokrúhlia na 75.
Ako vidíme, najmenší násobok 15, ktorý je mimo čísel 23 až 73 bude 75. Všetky ostatné násobky (30, 45, 60) sa nachádzajú medzi číslami 23 až 73, a teda pri zaokrúhľovaní na 49 nám z týchto násobkov vyjde opäť 49. Takže pre každé n medzi 25 a 67 sa nám v zaokrúhľovaní objavia dve čísla 49.
Číslo, ktoré je ale zaokrúhlené takto:
n ≐ (15) 75 ≐ (49) 98
už bude mať vo výsledkoch dva rôzne násobky 49 (49 a 98), takže najmenšie z takýchto čísel, n=68 by mohlo byť nami hľadaný počet krokodílov.
Ešte skontrolujme, či má naozaj všetky štyri výsledky rôzne. Po zaokrúhleniach dostaneme 75, 49, 45, 98 v tomto poradí, takže je najmenšie, ktoré vyhovuje zadaniu. Všetky nižšie čísla sme vylúčili, pretože by mali pri zaokrúhľovaní buď dve 49(platí pre čísla 25 až 67), alebo aspoň dve nuly (platí pre čísla 0 až 24).