Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×3. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
V údolí sú zvieratá štyroch rôznych typov: cicavce, plazy, vtáky a hmyz. Jednu pätinu všetkých zvierat tvoria cicavce, dve devätiny plazy, štyri pätnástiny vtáky a zvyšok je hmyz. Koľko zvierat je v údolí, ak zo žiadneho druhu ich nie je menej ako 30 ani viac ako 60?
Vzorové riešenie
Označme si počet všetkých zvierat na lúke písmenom Z. Máme štyri typy zvierat a podľa zadania má každý typ počet medzi 30 a 60. Z tohto je vidieť, že na lúke musí byť najmenej 120 zvierat, a najviac ich tam môže byť 240. Zapíšeme nerovnicou: 120 \leq Z \leq 240.
Ďalej zo zadania vieme, že pätinu zvierat tvoria cicavce. Keďže cicavcov je celočíselne veľa, tak počet zvierat Z musí byť deliteľný číslom 5. Matematicky si toto napíšeme nasledujúcou skratkou: 5 | Z. Podobne vieme, že plazy tvoria dve devätiny Z a pretože dvojka nijako nevykráti deviatku, tak Z musí byť násobok čísla 9, respektíve 9 | Z.
Z týchto pozorovaní vyplýva, že 45 | Z. Pozor, operáciu "násobok" nemôžeme len tak násobiť v každom prípade. Tu si to môžeme dovoliť, lebo čísla 5 a 9 nemajú spoločného deliteľa okrem jednotky. Takéto čísla nazývame "nesúdeliteľné" a vtedy môžeme takto vynásobiť to, čím je Z deliteľné.
Všimnime si, že takýchto čísel nie je v našom rozmedzí veľa, konkrétne sú iba tieto tri: Z=135,Z=180,Z=225. Poďme sa na tieto tri možnosti postupne pozrieť a zistiť, ktoré vyhovujú zadaniu:
- Ak Z=135, tak cicavcov bude 135:5=27, čo je málo, lebo ich malo byť aspoň 30. Teda táto možnosť nesedí.
- Ak Z=180, tak cicavcov bude 180:5=36, plazov bude 180 \cdot 2:9=40, vtákov 180 \cdot 4:15=48. Hmyzu, ktorý tvorí zvyšok, bude teda 180 - 36 - 40 - 48 = 56. Všetky počty teda ležia v povolenom rozmedzí a teda táto možnosť sedí.
- No a keby Z=225, tak cicavcov bude 225:5=45, plazov bude 225 \cdot 2:9=50, vtákov 225 \cdot 4:15=60. Hmyzu, ktorý tvorí zvyšok bude teda 225 - 45 - 50 - 60 = 70. Potom hmyzu je priveľa a táto možnosť nemôže nastať.
Odpoveď: Na lúke je 180 zvierat, jednotlivé počty sú vyššie v možnosti číslo dva.
Komentár
Príklad ste väčšiou zvládli dobre. Mnohí z vás ale predpokladali bez akejkoľvek zmienky, že ak si rozdelíme zvieratá na 45 skupín, tak v každej takejto skupine musí byť celočíselne veľa zvierat. Keďže to bolo v tomto prípade skoro jasné, strhával som iba jeden bod za toto (a viacej, ak boli ešte aj iné chyby).
Dávajte si na takéto ale pozor, môže sa stať, že taký predpoklad vám skryje vhodné riešenia v úlohe. A potom už budete strácať o dosť viac než jeden bod.