Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Máme kosoštvorec DRAK, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v bode L. Bod T je vrcholom rovnobežníka KLAT. Priesečník úsečiek TR a AK je bod M. Aby princ vedel, kam má sekať, potrebuje vedieť pomer obsahov štvoruholníka DRAK a trojuholníka TMA. Zistite, akú hodnotu má tento pomer.
Vzorové riešenie
Po chvíli pozorovania si môžeme všimnúť, že najzáhadnejší bod v zadaní je bod M. Ten leží na úsečkách TR a KA. Niečo o ňom povedať je na prvý pohľad ťažké, veď úsečka TR sama o sebe spája vrcholy dvoch rôznych rovnobežníkov. Začneme teda tým, že sa pokúsime zistiť niečo o bode M, konkrétne o jeho polohe na KA, resp. TR.
Začnime pohľadom na trojuholníky TMA a RMK. Keďže KLAT je rovnobežník, priamky TA a RK sú rovnobežné. Uhly \sphericalangle MAT a \sphericalangle MKR sú striedavé a teda rovnako veľké. Navyše uhly \sphericalangle TMA a \sphericalangle RMK sú vrcholové a tiež rovnako veľké. Trojuholníky TMA a RMK sú teda podobné podľa vety uu.
Môžeme si všimnúť, že dokážeme dokonca vypočítať aj pomer podobnosti. Vieme, že DRAK je rovnobežník, takže jeho uhlopriečky sa pretínajú v strede. Navyše aj KLAT je rovnobežník, takže protiľahlé strany sú rovnako dlhé. Odtiaľ dostávame
|TA| = |LK| = \dfrac{1}{2} |RK|.
Pomer podobnosti je teda 1:2. Platí teda napríklad |MA| = \frac{1}{2} |KM|, z čoho vieme, že |MA| = \frac{1}{3} |KA|. Podobné pozorovanie vieme urobiť aj na úsečke TR, no to ďalej v riešení nebudeme potrebovať.
Porovnajme si teraz trojuholníky TMA a TKA. Výšku na MA, resp. KA, majú spoločnú, líšia sa len dĺžky ich základní. Keďže |MA| = \frac{1}{3} |KA|, aj obsah trojuholníka TMA bude 3-krát menší ako obsah TKA. My sa však potrebujeme prepracovať až k obsahu kosoštvorca DRAK.
To však nebude problém. Úsečka KA je uhlopriečka rovnobežníka KLAT, takže ho delí na dva zhodné trojuholníky. Takže obsah trojuholníka TMA je zároveň 3-krát menší ako obsah trojuholníka KLA. Uhlopriečky rozdeľujú kosoštvorec na štyri zhodné trojuholníky. Takže obsah KLA je jednou štvrtinou obsahu kosoštvorca DRAK.
Spojíme, čo vieme a dostaneme, že obsah trojuholníka TMA je 3 \cdot 4 = 12-krát menší ako obsah kosoštvorca DRAK.
Odpoveď: Pomer obsahov kosoštvorca DRAK a trojuholníka TMA je 12:1.
Komentár
S príkladom ste sa popasovali vcelku úspešne. Najčastejšími chybami boli nejaké nevysvetlené vzťahy dĺžok, s ktorými ste pracovali. Keď napríklad využívate, že LK má polovičnú dĺžku ako RK, treba povedať, že sa uhlopriečky útvaru DRAK rozpoľujú.
Bodovanie
Za základné pozorovania o útvaroch zo zadania bolo možné získať až 2 body. Do tejto kategórie sa rátali napríklad spomínané rozpoľujúce sa uhlopriečky, kolmosť uhlopriečok útvaru DRAK, či počítanie nejakých uhlov. Viaceré z nich nebolo nutné v riešení použiť, ak ste však niečo použili a nevysvetlili, strácali ste spravidla po bode.
Ďalších 5 bodov bolo možné získať za zistenie pomeru |MA|:|KM|, prípadne pomeru obsahov trojuholníka TMA a iného trojuholníka. Tu sa postupy vcelku líšili, spravidla to však bol najzložitejší krok.
Zvyšné 3 body boli udelené za výsledné dopočítanie požadovaného pomeru.