9. príklad - Vzorové riešenie

Po chvíli pozorovania si môžeme všimnúť, že najzáhadnejší bod v zadaní je bod M​. Ten leží na úsečkách TR a KA​. Niečo o ňom povedať je na prvý pohľad ťažké, veď úsečka TR​ sama o sebe spája vrcholy dvoch rôznych rovnobežníkov. Začneme teda tým, že sa pokúsime zistiť niečo o bode M​, konkrétne o jeho polohe na KA, resp. TR​.

Začnime pohľadom na trojuholníky TMA​ a RMK​. Keďže KLAT​ je rovnobežník, priamky TA​ a RK​ sú rovnobežné. Uhly \sphericalangle MAT​ a \sphericalangle MKR​ sú striedavé a teda rovnako veľké. Navyše uhly \sphericalangle TMA​ a \sphericalangle RMK​ sú vrcholové a tiež rovnako veľké. Trojuholníky TMA​ a RMK​ sú teda podobné podľa vety uu​.

Môžeme si všimnúť, že dokážeme dokonca vypočítať aj pomer podobnosti. Vieme, že DRAK​ je rovnobežník, takže jeho uhlopriečky sa pretínajú v strede. Navyše aj KLAT​ je rovnobežník, takže protiľahlé strany sú rovnako dlhé. Odtiaľ dostávame

​|TA| = |LK| = \dfrac{1}{2} |RK|​.

Pomer podobnosti je teda 1:2​. Platí teda napríklad |MA| = \frac{1}{2} |KM|, z čoho vieme, že |MA| = \frac{1}{3} |KA|. Podobné pozorovanie vieme urobiť aj na úsečke TR, no to ďalej v riešení nebudeme potrebovať.

Porovnajme si teraz trojuholníky TMA​ a TKA​. Výšku na MA​, resp. KA​, majú spoločnú, líšia sa len dĺžky ich základní. Keďže |MA| = \frac{1}{3} |KA|​, aj obsah trojuholníka TMA​ bude 3​-krát menší ako obsah TKA​. My sa však potrebujeme prepracovať až k obsahu kosoštvorca DRAK​.

To však nebude problém. Úsečka KA​ je uhlopriečka rovnobežníka KLAT​, takže ho delí na dva zhodné trojuholníky. Takže obsah trojuholníka TMA​ je zároveň 3​-krát menší ako obsah trojuholníka KLA​. Uhlopriečky rozdeľujú kosoštvorec na štyri zhodné trojuholníky. Takže obsah KLA​ je jednou štvrtinou obsahu kosoštvorca DRAK​.

Spojíme, čo vieme a dostaneme, že obsah trojuholníka TMA​ je 3 \cdot 4 = 12​-krát menší ako obsah kosoštvorca DRAK​.

Odpoveď: Pomer obsahov kosoštvorca DRAK​ a trojuholníka TMA​ je 12:1​.

Komentár

S príkladom ste sa popasovali vcelku úspešne. Najčastejšími chybami boli nejaké nevysvetlené vzťahy dĺžok, s ktorými ste pracovali. Keď napríklad využívate, že LK​ má polovičnú dĺžku ako RK​, treba povedať, že sa uhlopriečky útvaru DRAK​ rozpoľujú.

Bodovanie

Za základné pozorovania o útvaroch zo zadania bolo možné získať až 2 body. Do tejto kategórie sa rátali napríklad spomínané rozpoľujúce sa uhlopriečky, kolmosť uhlopriečok útvaru DRAK​, či počítanie nejakých uhlov. Viaceré z nich nebolo nutné v riešení použiť, ak ste však niečo použili a nevysvetlili, strácali ste spravidla po bode.

Ďalších 5​ bodov bolo možné získať za zistenie pomeru |MA|:|KM|​, prípadne pomeru obsahov trojuholníka TMA​ a iného trojuholníka. Tu sa postupy vcelku líšili, spravidla to však bol najzložitejší krok.

Zvyšné 3​ body boli udelené za výsledné dopočítanie požadovaného pomeru.