Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Nech k a d sú kladné celé čísla. Teraz si zoberme nejaké kladné celé číslo. V jednom kroku k nemu môžeme buď pripočítať k, alebo ho vydeliť d. Urobíme 3 takéto kroky.

Nech by sme si hocijako vybrali jednotlivé kroky, vždy by sme dostali iba celé čísla. Najväčšie číslo, ktoré vieme na konci dosiahnuť, je 108, a tiež vieme dosiahnuť aj číslo 2. Aké je začiatočné číslo?

Vzorové riešenie

Opravovali: DominikRigasz, Imro, Red

Označme začiatočné číslo ako x​. Všimnime si, že krok, v ktorom delíme číslom d​ nám určite nezväčší medzivýsledok (zmenší ak d \gt 1​, nezmení ak d=1​). Preto jediný spôsob ako zväčšiť medzivýsledok je pripočítaním k​, a teda najväčšie výsledné číslo dostaneme, keď v každom kroku pripočítame k​. Keďže zo zadania vieme, že najväčšie dosiahnuteľné číslo je 108​, tak musí platiť x+3k=108​.

Odtiaľ dostávame x=108-3k odkiaľ je jasné, že x \lt 108. Všimnime si, že pravá strana rovnice je deliteľná 3, preto x=3(36-k). Odtiaľ vidíme, že x​ musí byť násobkom čísla 3​. Všimnime si, že toto nám hovorí, že 3 \leq x \lt 108​.

Najmenšie výsledné číslo dosiahneme troma deleniami, lebo ak by sme v nejakom kroku použili namiesto delenia pripočítanie, medzivýsledok by sa zväčšil. Preto najmenšie dosiahnuteľné číslo je  x:d^3​ . Ak by sme vedeli, že najmenší dosiahnuteľný výsledok po troch krokoch je číslo 2​, potom by sme mohli hneď povedať (rovnako ako v predchádzajúcom odseku pri najväčšom dosiahnuteľnom čísle), že platí  x : d^3 =2​. Toto však teraz nevieme, keďže v zadaní sa píše iba to, že číslo 2​ vieme dosiahnuť.

Predpokladajme, že existujú čísla x, k, d​ také, že sú splnené podmienky zadania a vieme dosiahnuť výsledok 1​. Najprv si všimnime že x ​ nemôze byť 1​, keďže x \geq 3. Ak by sme vedeli dosiahnuť 1​ ako medzivýsledok v​, znamenalo by to, že d>1, keďže dokážeme x​ zmenšiť. Zo zadania vieme, že všetky dosiahnuteľné výsledky sú celé kladné čísla. To je však spor s v=1​ lebo v:d \lt 1​. Toto nám hovorí, že ak dokážeme dosiahnuť 1​, musí to byť po poslednom kroku.

Zjavne 1​ je najmenší výsledok, preto sme ho museli dostať troma deleniami, teda platí  x/d^3 =1​, z čoho x=d^3​. Keďže x​ musí byť násobkom čísla 3​, tak aj samotné d​ musí byť násobkom čísla 3​. Všimnime si, že ak d​ je viac ako 4​, tak d^3​  bude väčšie ako 108​, čo sa nemôže stať. Preto d​ musí byť jedine 3​, z čoho následne x=27​ a dopočítaním k=27​ z rovnice x+3k=108​.

Vieme však s týmito číslami dosiahnuť výsledok 2​, ako zadanie požaduje? Pozrime sa na to. Ak by posledný krok bolo pripočítavanie, výsledok by bol väčší ako 27​, preto ak chceme dosiahnuť výsledok 2​ posledný krok musí byť delenie číslom 3​. Preto medzivýsledok po druhom kroku musí byť 6​. Ak by druhý krok bolo pripočítavanie, tak by tento medzivýsledok bol väčší ako 27​, preto druhý krok musí byť tiež delenie. Teda medzivýsledok po prvom kroku dvakrát vydelený číslom 3​ nám má dať výsledok 2​, to znamená, že medzivýsledok po prvom kroku musí byť 18​. Keďže začiatočné číslo je 27​ a v prvom kroku máme na výber ho buď deliť troma alebo k nemu pripočítať 27​, tak vidíme, že hľadaný medzivýsledok 18​ nevieme dostať. Vidíme tak, že pre čísla x=27, d=3, k=27​ nevieme dosiahnuť výsledok 2​, a preto náš predpoklad, že výsledok 1​ vieme dosiahnuť musel byť nesprávny.

Predpokladali sme teda, že výsledok 1​ vieme dostať, čo nás doviedlo k sporu. Preto výsledok 1​ po troch krokoch dostať nemôžeme, a teda výsledok 2​ je skutočne najmenší dosiahnuteľný výsledok. Preto platí  x:d^3 =2​, keďže najmenšie číslo dosiahneme práve troma deleniami. Z toho plynie x=2d^3. Rovnako ako vyššie, keďže x​ je násobok čísla 3​ a musí byť menšie ako 108​ (čo vyplýva z rovnice x+3k=108​), tak jediné vyhovujúce d​ je d=3​, z čoho následne dostávame x=54​ a k=18​. Ostáva skontrolovať, či daná trojica skutočne spĺňa všetky podmienky zadania.

Nech „d“ značí krok, v ktorom sme delili a nech „k“ značí krok, v ktorom sme pripočítavali.

Kroky Výsledok
k, k, k 108
k, k, d 30
k, d, k 42
d, k, k 54
k, d, d 8
d, k, d 12
d, d, k 24
d, d, d 2

Vidíme tak, že všetky výsledky sú celé, pričom 108​ je najväčší, a výsledok 2​ bol dosiahnutý. Preto čísla x=54, d=3, k=18​ vyhovujú podmienkam zadania, a teda začiatočné číslo muselo byť iba 54​.

Odpoveď: Začiatočné číslo bolo 54​.

Komentár

Väčšina z vás našla správny výsledok. Veľa z vás však preskočilo úvahu o tom, že 2​ nemusí byť najmenšie číslo, čo značne zjednodušilo tento príklad.