5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
2021 hadov a Merlin s Mackerom jazdia na bicykloch zoradení do kruhu, pričom Macker a Merlin nejdú priamo za sebou. Hra prebieha nasledovne: Macker s Merlinom sa striedajú v ťahoch, pričom Merlin začína. Každý z nich na svojom ťahu zhodí buď toho, kto je v kruhu hneď pred ním, alebo toho hneď za ním. Keď Macker alebo Merlin zhodí toho druhého z nich, tak vyhráva. Ktorý z nich má výhernú stratégiu?
Poznámka: výherná stratégia znamená, že hráč vie pomocou nej vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá jeho súper.Vzorové riešenie
Ako prvé si môžeme všimnúť, že po ťahu každého z hráčov sa počet hadov v kruhu zmenší o 1. Keďže počet hadov je 2021, čo je nepárne číslo, tak medzi Merlinom a Mackerom bude na začiatku z jednej strany párny počet hadov a z druhej nepárny počet hadov, pretože iba súčtom párneho a nepárneho čísla vieme dostať nepárne číslo.
Teraz sa pozrime na to, čo sa stane po prvom ťahu oboch hráčov. Ak Merlin zhodí hada zo strany, kde je ich párny počet, bude medzi nimi z oboch strán nepárny počet. Potom nech Macker zhodí akéhokoľvek hada bude medzi nimi z jednej strany párny a z druhej nepárny počet hadov. Ak Merlin zhodí hada zo strany, kde je ich nepárny počet, bude medzi nimi z oboch strán párny počet. Po Mackerovom ťahu potom bude medzi nimi znova z jednej strany párny a z druhej nepárny počet hadov. Všimnime si, že v oboch prípadoch sme sa po ťahoch oboch hráčov dostali do podobnej situácie ako na začiatku, len s 2019 hadmi.
Zamyslime sa teraz, kedy niektorí z nich prehráva. Na to, aby napríklad Merlina mohol Macker zhodiť, musí medzi nimi z jednej strany byť 0 hadov, keď sa Macker dostane na ťah. Všimnime si, že 0 je párne číslo.
Ako sme už ukázali, Merlin sa dostane na ťah vždy v situácii, že z jednej strany je medzi ním a Mackerom párny počet hadov a z druhej nepárny. Potom si vie vždy vybrať či po jeho ťahu bude medzi nimi z oboch strán párny počet alebo nepárny počet hadov. Teda vie zabezpečiť aby sa Macker dostal na ťah v situácii, že je medzi nimi z oboch strán nepárny počet hadov, a teda ani jeden z týchto počtov nemôže byť nula. Macker teda nemôže vyhrať, takže vždy vyhráva Merlin.