4. príklad - Vzorové riešenie

Najprv sa pozrime na Slovákov 2. výrok: „Zo zvyšných dvoch z nás je jeden klamár a jeden pravdovravný.“ Podľa tohto výroku vieme, že ak by Slovák hovoril pravdu, tak Američan alebo Rus musí hovoriť pravdu a ten druhý z nich musí klamať. Ak by Slovák klamal, tak buď Američan aj Rus hovoria pravdu alebo obaja klamú. Možnosť v ktorej klamú všetci traja môžeme hneď vylúčiť, lebo zadanie hovorí, že aspoň jeden hovorí pravdu. Ostali nám 3 možnosti. Poďme ich vyskúšať:

Američan a Rus hovoria pravdu, Slovák klame.
Rus hovorí, že 3. cifra je 1 a to, že v čísle nie je väčšia cifra ako tá posledná. Takže na poslednom mieste môže byť buď 0 alebo 1.  Slovák hovorí, že posledná cifra je párna, ale klame. Takže posledná cifra musí byť nepárna a teda na poslednom mieste bude 1. Američan hovorí, že v čísle sú aspoň 2 cifry prvočísla. Vidíme, že 3​. ani 4. cifra prvočísla nie sú, preto naše prvé dve cifry musia byť prvočísla ktorých súčet je 11. (​Podľa 1. Američanovho výroku.)​  Existujú ale takéto prvočísla? Keďže 11​ je nepárne číslo, tak jedno z týchto hľadaných prvočísel musí byť párne a druhé nepárne. Jediné párne prvočíslo je 2​. Potom druhá hľadaná cifra by mala byť 11-2=9​. Avšak vieme, že 9​ prvočíslo nie je a teda táto možnosť nemá riešenie.

Američan a Slovák hovoria pravdu, Rus klame.
Slovák hovorí, že 1. cifra je 4. Američan hovorí, že súčet prvých dvoch cifier je 11, takže druhá cifra musí byť 7. Ďalej Američan hovorí, že 3. cifra má byť menšia ako 2, čiže nám na výber ostali 1 \text{ a } 0. Vieme, že Rus klame keď hovorí, že 3. cifra je 1. Tým pádom 3. cifra bude 0. Posledná cifra musí byť prvočíslo, lebo Američan hovorí, že v čísle musia byť aspoň 2 prvočísla. Takisto musí byť posledná cifra párna, to nám zase hovorí Slovák. Jediné párne prvočíslo je 2, takže na poslednom mieste bude 2. Vyšiel nám pin 4702.

Ostáva nám spraviť skúšku, aby sme zistili, či toto číslo naozaj spĺňa všetky výroky. Američan sedí: Súčet prvých dvoch cifier je 11, 3. cifra je menšia ako 2, v čísle sú 2 prvočísla. Rus tiež sedí: 3. cifra nie je 1, posledná cifra nie je najmenšia. Slovák takisto sedí: 1. cifra je 4, Američan hovorí pravdu a Rus klame, posledná cifra je párna. Máme jedno riešenie, teraz sa  poďme pozrieť na poslednú možnosť.

Rus a Slovák hovoria pravdu, Američan klame.
Rus hovorí, že 3. cifra je 1. Američan hovorí, že 3. cifra je menšia ako 2. Avšak tento Američanov výrok je pravdivý, ale Američan nemôže hovoriť pravdu a to je spor. Takže táto možnosť nevedie k riešeniu.

Hľadané číslo je 4702. Ostatné možnosti ako môžu hovoriť pravdu alebo klamať nie sú správne, lebo by nebol splnený Slovákov 2. výrok.

Odpoveď: Ich pin je 4702.

Komentár

Väčšina z vás zvládla príklad dobre a vyskytli sa iba malé chyby. Veľa z vás nedostatočne zdôvodnilo prečo neexistujú 2 prvočísla, ktorých súčet je 11. Takisto ste veľmi často zabudli poriadne zdôvodniť niektorý z dôležitých krokov, za čo sme strhávali body. Tiež by sme chceli pripomenúť, že pri takomto type príkladu sa po nájdení vyhovujúcej možnosti oplatí urobiť skúšku, aby ste si overili, či sú všetky výroky zo zadania splnené.​