Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Počet ťahov potrebných na umiestnenie žirafy do chladničky je trojciferný palindróm A. Počet ťahov na umiestnenie slona do chladničky je štvorciferný palindróm B. Ak chceme dať slona aj žirafu do chladničky, musíme sčítať počet ťahov na umiestnenie slona do chladničky (B) a počet ťahov na umiestnenie žirafy do chladničky (A). Vieme, že tento celkový počet je 5-ciferný palindróm. Nájdite všetky možnosti čísel A a B.
Poznámka: palindróm je také číslo, ktoré vyzerá rovnako spredu aj odzadu, napr. 1234321.Vzorové riešenie
V zadaní máme 3-, 4- a 5-ciferný palindróm. Zapíšme si ich ako súčet:
\begin{array}{ccccc} & & A & B & A \\ +& C& D & D & C\\ \hline E & F & G & F & E\end{array}
Rovnaké písmenká predstavujú rovnaké cifry. Ako teraz začať riešiť? Najlepšie bude si skúsiť dosadiť náhodné čísla a takýmto spôsobom si vieme veľmi pekne všimnúť niečo, čo sa nám ďalej pri riešení vie zísť.
Napríklad si všimneme, že ak C \lt 9, tak aj ak by sme A a B a D volili najväčšie možné, čiže 9, súčet by nebol 5-ciferný, ako môžeme vidieť tu:
\begin{array}{ccccc} & & 9 & 9 & 9 \\ +& 8 & 9 & 9 & 8\\ \hline & 9 & 9 & 9 & 7\end{array}
Takto sme hneď zistili, že C=9. Okrem toho sme si ale všimli ešte jednu dôležitú vec, že prechod cez desiatku bude vždy 0, alebo 1. Prečo?
Ak máme na mieste jednotiek ľubovoľné 2 cifry, tak dokopy budú maximálne 9+9=18. Takže nám môže "zostať" najviac 1. Pre desiatky, sa nám k tomu tá jednotka pripletie, takže máme 1+9+9=19. Ale prechod bude stále 1. Pre stovky a vyššie pozície sa situácia zopakuje. Vieme si to povšimnúť aj na súčte 2 čísel zložených zo samých 9.
\begin{array}{ccccc} & 9 & 9 & 9 \\ +& 9 & 9 & 9\\ \hline 1 & 1+8 & 1+8 & 8\end{array}
Poďme to teraz pekne zužitkovať. E je aspoň 1, inak by nešlo o 5-ciferné číslo. Potom k C musíme niečo prirátať aby sme sa dostali cez desiatku. Avšak už vieme, že prechod je maximálne 1. Takže k C nič väčšie ako 1 prirátať nemôžme. Keďže 1+9=10, tak rovno vidíme, aj že F=0. Tieto pozorovania teraz doplňme do nášho súčtu:
\begin{array}{ccccc} & & A & B & A \\ +& 9& D & D & C\\ \hline 1 & 0 & G & F & E\end{array}
Všetky čísla v súčte sa čítajú rovnako odpredu ako odzadu, takže naše pozorovania vieme preklopiť aj na miesta jednotiek a desiatok:
\begin{array}{ccccc} & & A & B & A \\ +& 9& D & D & 9\\ \hline 1 & 0 & G & 0 & 1\end{array}
Teraz nie je ťažké dopočítať A. Hľadáme číslo, ku ktorému ak pripočítame 9, tak tento súčet bude mať na mieste jednotiek 1. Hľadané číslo A = 2:
\begin{array}{ccccc} & & 2 & B & 2 \\ +& 9& D & D & 9\\ \hline 1 & 0 & G & 0 & 1\end{array}
Poďme sa pozrieť na D. V tomto bode, je celkom dobrá cesta aj skúšanie, je to iba 9 možností, avšak vieme si to ešte zjednodušiť na 3.
Spomenieme si, že prvé dve cifry sú 10. Aby sme ich dosiahli, tak k 9 potrebujeme prirátať 1. Teda D musí zabezpečiť prechod cez desiatku. Ak je D menej ako 7, tak sa nám to určite nepodarí, lebo 6+2+1=9, a to je málo. Poďme postupne vyskúšať ostávajúce 3 možnosti.
D môže byť postupne 9,\, 8 a 7 a z toho ľahko dopočítame G a B.
| D | súčet | B | G | výsledok |
|---|---|---|---|---|
| 9 | \begin{array}{ccccc} & & 2 & B & 2 \\ +& 9& 9 & 9 & 9\\ \hline 1 & 0 & G & 0 & 1\end{array} | 0 | 2 | \begin{array}{ccccc} & & 2 & 0 & 2 \\ +& 9& 9 & 9 & 9\\ \hline 1 & 0 & 2 & 0 & 1\end{array} |
| 8 | \begin{array}{ccccc} & & 2 & B & 2 \\ +& 9& 8 & 8 & 9\\ \hline 1 & 0 & G & 0 & 1\end{array} | 1 | 1 | \begin{array}{ccccc} & & 2 & 1 & 2 \\ +& 9& 8 & 8 & 9\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array} |
| 7 | \begin{array}{ccccc} & & 2 & B & 2 \\ +& 9& 7 & 7 & 9\\ \hline 1 & 0 & G & 0 & 1\end{array} | 2 | 0 | \begin{array}{ccccc} & & 2 & 2 & 2 \\ +& 9& 7 & 7 & 9\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} |
Odpoveď: Možné palindrómy sú uvedené vyššie v tabuľke.
Komentár
Vo vašich riešeniach sme často nenachádzali vysvetlenie k tvrdeniam, ktoré neboli vždy úplne očividné. Napríklad, bez ukázania, že prechod je najviac 1, alebo, že 999 + 8998 = 9997, nemá zmysel tvrdiť, že C = 9. Takisto bez 999 + 9999 = 10 998 by sme nemali usúdiť, že prvé dvojčíslie výsledku je 10.
Ďalšou kľúčovou časťou tejto úlohy bola skúška správnosti, a teda overenie si, či sa nájdené palindrómy po sčítaní naozaj rovnajú päťcifernému palindrómu. Celkovo nás ale veľmi teší, že väčšina z vás sa dopracovala aspoň k časti riešenia - ste šikovní 🐬