6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Ako tak spolu skladali vzorec, tak dostali nasledovnú rovnicu:
ABCDEFGHI = (BBDDG)^2
Vieme, že ABCDEFGHI a BBDDG sú čísla, v ktorých každé z písmen A až I reprezentuje inú nenulovú cifru. Pomôžte Merlinovi a Mackerovi nájsť obe čísla.
Vzorové riešenie
Najprv sa pozrieme na najmenšie a potom na najväčšie ABCDEFGHI aké môžme mať a aké BBDDG k nim prislúcha.
ABCDEFGHI = 123456789 = BBDDG^2 \approx 11112^2
ABCDEFGHI = 987654321=BBDDG^2\approx31426^2
Takže vieme že BBDDG bude medzi číslami 11112 a 31426. Zároveň vieme že prvé dve cifry musia byť rovnaké. To splňujú iba čísla 1 a 2. Takže B je 1 alebo 2.
Vyskúšame najväčšie a najmenšie BBDDG také že B=1 a pozrieme sa aké ABCDEFGHI dostaneme.
BBDDG^2=11223^2=ABCDEFGHI=125955729
BBDDG^2=11998^2=ABCDEFGHI=143952004
Môžme si všimnúť že pre ľubovoľnú možnosť kde B=1 tak aj A=1 čo nemôže byť. Preto B=2.
Teraz sa pozrieme na najmenšie a na najväčšie BBDDG keď B=2 a pozrieme sa aké ABCDEFGHI dostaneme.
BBGGF^2=22113^2=ABCDEFGHI=488984769
BBDDG^2=22998^2=ABCDEFGHI=528908004
Výsledok (výsledky) bude medzi číslami 488984769 a 528908004. Jediné čísla v tomto rozmedzí kde B=2 sú 520000000 až 528908004. Čiže A=5.
Teraz, keď vieme interval pre ABCDEFGHI, tak zistíme interval pre BBDDG.
ABCDEFGHI=520000000=BBDDG^2\approx 22804
ABCDEFGHI=528908004=BBDDG^2\approx22998^2
Môžme si všimnúť že jediné dve možnosti pre D v tomto intervale sú 8 a 9, teda D je 8 alebo 9.
Keďže platí ABCDEFGHI=BBDDG^2 tak G^2 končí takou cifrou akú bude nadobúdať I. Preto môžme vyradiť také čísla ktoré keď umocníme budú končiť na to isté číslo alebo na 2 alebo 5 (lebo B=2 a A=5). Ostávajú nám teda možnosti pre G: 3, 4, 7, 8, 9.
Ďalej sme si mohli všimnúť že ciferný súčet čísla ABCDEFGHI bude 45 keďže obsahuje každú cifru od 1 do 9 práve raz. Keďže je jeho ciferný súčet deliteľný deviatimi tak aj číslo ABCDEFGHI je deliteľné deviatimi. Takže jeho druhá odmocnina (BBDDG) musí byť deliteľná tromi. Takže ciferný súčet BBDDG musí byť deliteľný tromi.
Teraz vieme že B=2, D=8 alebo 9, G=3, 4, 7, 8, 9 a zároveň 2B+2D+G je násobok trojky. Teraz si môžeme napísať všetky kombinácie čísiel B, D a G a zistiť či vyhovujú.
BBDDG | Vyhovuje |
22883 | nevyhovuje lebo ciferný súčet nie je násobok trojky |
22884 | vyhovuje |
22887 | vyhovuje |
22888 | nevyhovuje lebo D a G sú rovnaké |
22889 | nevyhovuje lebo ciferný súčet nie je násobok trojky |
22993 | nevyhovuje lebo ciferný súčet nie je násobok trojky |
22994 | nevyhovuje lebo ciferný súčet nie je násobok trojky |
22997 | nevyhovuje lebo ciferný súčet nie je násobok trojky |
22998 | vyhovuje |
22999 | nevyhovuje lebo D a G sú rovnaké |
Ostali nám už iba 3 možnosti, ktoré treba vyskúšať a zistiť či ich druhá mocnina má na každej pozícií inú cifru.
22884^2=523677456 nevyhovuje
22887^2=523814769 vyhovuje
22998^2=528908004 nevyhovuje
Ako vidíme vyhovuje iba jediná možnosť kde ABCDEFGHI=523814769 a BBDDG=22887. Toto je jediná možnosť lebo ostatné sme vylúčili skorej.