Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Sériové číslo pražca je desaťciferné a má nasledujúcu peknú vlastnosť: prvá číslica označuje počet číslic 1 v čísle, druhá počet dvojok, …, deviata počet deviatiek, a posledná počet núl. Nájdite všetky čísla, ktoré môžu byť sériovým číslom pražca. Nezabudnite ukázať, že úloha nemôže mať iné riešenia ako tie, ktoré nájdete.
Vzorové riešenie
Zo zadania sa dozvedáme, že každá z cifier hľadaného čísla má hodnotu rovnú počtu nejakých cifier (cifra na mieste jednotiek hovorí o počte jednotiek, cifra na mieste desiatok hovorí o počte núl). Keďže celkovo je cifier v hľadanom čísle 10, bude aj ciferný súčet čísla, ktoré hľadáme, rovný 10.
Poďme si postupne rozobrať, aké cifry môžu byť na mieste núl, teda na mieste, ktoré určuje počet núl v čísle.
Ako prvé si môžeme skúsiť dať na miesto núl deviatku. V čísle budeme mať 1 deviatku a 9 núl, ale už žiadne voľné miesto, kam by sme dali jednotku, ktorá by nám zariadila ciferný súčet 10.
Skúsme tam teraz dať osmičku. Takto tam máme 1 osmičku, 8 núl a jedno voľné miesto. Ak chceme splniť ciferný súčet 10, museli by sme na to jedno miesto dať dvojku. Potom by sme ale potrebovali dať na miesto dvojok jednotku a tá sa už nezmestí.
Teraz vyskúšame sedmičku. V čísle budeme mať 1 sedmičku, 7 núl a dve voľné miesta. Dve sedmičky tam byť nemôžu (ciferný súčet by bol aspoň 14), takže musíme dať jednotku na miesto sedmičiek. Na posledné voľné miesto teda musíme dať dvojku, aby bol ciferný súčet 10, ale keďže žiadna cifra v čísle nie je dva krát, tak pre túto dvojku nemáme vhodné miesto.
Pozrime sa na šestku. Máme sedem miest, ktoré sú obsadené jednou šestkou a šiestimi nulami. Zostanú nám tri miesta, ktoré musíme zaplniť tak, aby bol súčet cifier na týchto miestach rovný štyrom. Vieme, že na mieste, ktoré určuje počet šestiek, musí byť určite jednotka (dve šestky majú súčet 12). Ak máme v čísle jednu jednotku, na mieste jednotiek musí byť aspoň 1.
- Ak tam dáme 1, budú v čísle už dve jednotky, čiže to nesedí.
- Ak tam dáme 2, potom musíme dať na miesto dvojok 1 (máme tam dvojku a viac ich nemôže byť kvôli cifernému súčtu). Takto dostaneme číslo 2100010006, ktoré naozaj vyhovuje zadaniu.
- No a keby sme na miesto jednotiek dali 3 alebo viac, ciferný súčet by bol aspoň 6 + 3 + 1 + 1 + 1 = 12, čo je už príliš veľa, takže ani z tohto nedostaneme riešenie.
Ak by sme mali 5 núl, znamenalo by to, že je v čísle 5 nenulových cifier. Týchto 5 nenulových cifier nám hovorí, že sa v čísle nachádza 5 rôznych cifier. Aj keby sme zvolili tie najmenšie možné – 0, 1, 2, 3 a päťka, ktorá je na mieste núl – ciferný súčet by bol aspoň 11, takže to nemôže byť riešenie.
Ak by sme mali 4 alebo menej núl, budeme mať aspoň 6 nenulových cifier, takže máme aspoň 6 rôznych cifier. Najmenšie možné sú v tomto prípade 0 až 5, ktoré už majú ciferný súčet 15, takže takto tiež nedostaneme riešenie.
Takto sme dokázali, že v čísle môže byť len 6 núl a zo šiestimi nulami existuje jediné riešenie, 2100010006.
Iné riešenie
Niektorí z vás ste vymysleli ešte trochu iné riešenie, ktoré má síce rovnakú základnú myšlienku, ale netreba pri ňom skúšať toľko rôznych možností osobitne. Na toto riešenie bolo asi ťažšie prísť, no potom bolo ľahšie ho spísať.
Znova použijeme fakt, že ciferný súčet hľadaného čísla musí byť 10. Tiež sa pozrieme na to, aké číslo bude na mieste núl, nazvime toto číslo n. Potom zo zvyšných 9 číslic musí byť 9 - n iných ako 0. Tieto číslice musia mať zároveň ciferný súčet 10 - n, aby to spolu s poslednou číslicou bolo 10. Keďže ciferný súčet má byť o 1 väčší ako ich počet, musia byť všetky tieto číslice jednotky, okrem jednej, ktorá bude dvojka.
Ak by bola iba jedna jednotka, tá by musela byť na mieste jednotiek. Potom by ale muselo byť 7 núl a dve dvojky (na mieste dvojok už nemôže byť jednotka), čo nesedí. Ak by boli dve jednotky, potom by musela byť jedna dvojka a 6 núl, takže ešte jedna jednotka na mieste šestiek. Takto dostaneme riešenie, 2100010006.
Komentár
Každý z vás sa dopracoval k správnemu číslu, čo nás veľmi potešilo - ste makači :)). Kameňom úrazu sa ale stalo odôvodňovanie vašich riešení a hlavne fakt, že toto číslo je jediné riešenie úlohy. Keď tvrdíme, že viac riešení neexistuje, treba takéto niečo dokázať. Ak si nie ste istí, či ste to dostatočne dokázali, skúste si predstaviť, že by vám kamarát tvrdil, že našiel ďalšie riešenie a vy ho musíte presvedčiť, že sa určite pomýlil, bez toho aby vám to číslo ukázal a vy ste mu v ňom našli chybu. Ak by vaše riešenie obstálo v tejto skúške, môžete si byť istí, že ste to dokázali dostatočne.