3. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Každý z 50 kameňov má celočíselnú hmotnosť v kilogramoch, pričom najlahšie majú 2\,\text{kg} a najťažšie 5\,\text{kg}. Vieme, že najviac kameňov váži 4\,\text{kg}, 20 kameňov má hmotnosť 3\,\text{kg} a aspoň jeden kameň váži 5\,\text{kg}. Všetky kamene majú dokopy 168\,\text{kg}. Koľko je 2-, koľko 4- a koľko 5-kilogramových kameňov?
Vzorové riešenie
Aby sa nám ľahšie uvažovalo nad tým, ktoré kamene využiť, skúsime si úlohu zjednodušiť. Ak máme isté, že niektorých kameňov bude aspoň nejaký počet, odrátame toľko kameňov od pôvodných 50 a ich hmotnosť od 168 kg. Potom sa už zamýšľame len nad tým, ako rozdeliť zvyšnú hmotnosť medzi kamene, a uvidíme kam nás až tento postup dovedie.
Keďže 4-kilových kameňov je najviac, a 3-kilových je 20, tak 4-kilových musí byť aspoň 21. To máme určených 20+21=41 kameňov a 20 \cdot 3+21 \cdot 4=144 kg. Ostáva nám teda 50-41=9 kameňov a 168-144=24 kg, a použiť už nemôžeme žiadne 3-kilové kamene.
24 je párne číslo, ktoré dostaneme z hmotností 2, 4 a 5 kg. Súčet 2- a 4-kilových bude vždy párny, a teda aj súčet 5-kilových musí byť párny (pretože párne č. má párny súčet iba s iným párnym č.). Na to ich musí byť párny počet (inak nepárny počet\cdot 5 = nepárne). Teda vieme, že 5-kilové kamene sú aspoň 2, lebo ich nemôže byť 0 (zo zadania je aspoň jeden).
Potom nám ostane 9-2=7 kameňov a 24-2 \cdot 5=14 kg
Každý kameň váži aspoň 2 kg, teda 7 kameňov musí vážiť najmenej 7 \cdot 2=14 kg, čo je presne toľko koľko potrebujeme. To znamená, že že žiaden z tých 7 kameňov nemôže byť ťažší a teda ich bude práve sedem 2-kilových.
Máme teda výsledok, v ktorom sme vždy určili počty kameňov s istotou, teda iné možnosti už nemôžu byť. Môžeme si aj skontrolovať, či nám sedia pôvodné podmienky zo zadania:
Hmotnosť | Počet | Spolu |
|---|---|---|
2 | 7 | 14 |
3 | 20 | 60 |
4 | 21 | 84 |
5 | 2 | 10 |
SPOLU | 50 | 168 |