2. príklad - Vzorové riešenie

Riešenie obchádzajúce rovnice

Priemer hĺbok studní pred vojnou bol 18\,\text{m}​ a po vojne 14\,\text{m}​. Ďalej hĺbka zasypanej studne je 38​ metrov. 38-18=20​ metrov. Zasypaná studňa teda bola o 20​ metrov hlbšia ako priemerná studňa. Čo to znamená? Znamená to, že musela byť vyvážená ostatným studňami. Ostatné studne museli byť dokopy o 20​ metrov plytšie, ako priemerná studňa. My však vieme, že priemerná studňa mala po vojne 14​ metrov, takže bola o 4​ (18-14​) metre plytšia, ako pred vojnou. Ak priemerná studňa bola o 4​ metre plytšia, koľko je studní,ak dokopy sú o 20​ metrov plytšie? 20 : 4=5​. Po vojne sme mali 5 studní.

Ako ste to poväčšinou riešili a ako sa to dá dokončiť

Najprv si povieme, čo keby bola pred vojnou jediná studňa?

Tak potom tým, že mali priemernú hĺbku 18​ metrov, tak súčet ich hĺbok vieme dostať ako počet studní krát priemer: 18 \cdot 1=18​. Potom, keď odčítame 38​ metrov, tak dostaneme, aké boli dokopy hlboké studne po vojne, a to je -20​ metrov. Takže jedna studňa to byť nemohla, podobne pre 2​ studne, by nám ich hĺbka po vojne vyšla -2 metre.

Pre tri studne je to kúsok zaujímavejšie a teda 3 \cdot 18 = 54​. Po vojne mali studne dokopy 54-38=16​ metrov. Keďže boli pred vojnou 3​, tak sú po vojne 2​. Dostávame teda priemernú hĺbku 16 : 2 = 8​ a to nie je 14​.

Podobne 4​ studne:

4 \cdot 18-38=34​ a 34 : 3 = 11,3{\ldots}​

Pre 5​ studní dostávame:

5 \cdot 18-38=52​ a 52 : 4 = 13.​

Nakoniec pre 6​ studní pred vojnou dostaneme:

6 \cdot 18-38 = 70​ a 70 : 5=14​.

Po vojne bolo 5​ studní.

Teraz je otázka, čo s inými možnosťami? Nebolo to jednoduché to odtiaľto dokončiť, ale dalo sa to. Lepšie to vychádzalo cez prvé riešenie.

Ako sme si mohli všimnúť, tak iba dosádzame čísla do schémy:

18 \cdot (\text{počet studní pred vojnou})-38= ? a potom ? : \text{počet studní po vojne} = \ldots​

To si vieme prepísať do stavu:

\dfrac{18 \cdot (\text{počet studní pred vojnou})-38}{\text{počet studní po vojne}}=\ldots​

Ďalej si môžeme všimnúť, že \text{počet studní po vojne} = \text{počet studní pred vojnou}-1​:

\dfrac{18 \cdot (\text{počet studní pred vojnou})-38}{\text{počet studní pred vojnou}-1}=\ldots​

Teraz iba pripočítam 0​ v tvare 18-18​

\dfrac{18 \cdot (\text{počet studní pred vojnou})-18+18-38}{\text{počet studní pred vojnou}-1}=\ldots​

\dfrac{18 \cdot (\text{počet studní pred vojnou}-1)-20}{\text{počet studní pred vojnou}-1}=\ldots​

Dostávame:

18-\dfrac{20}{\text{počet studní pred vojnou}-1}=\ldots​

No a tu nie je ťažké vidieť, že ak budeme zvyšovať počet studní pred vojnou, tak postupne sa nám bude znižovať číslo za mínusom. Takže, ak pri 6​ dostaneme:

18-\dfrac{20}{6-1}=18-4=14,​

a budeme ďalej zvyšovať počet studní, tak sa nám postupne celkovo bude zvyšovať riešenie. Keď už je riešenie raz 14​, tak ak potom bude viac, tak už nikdy nebude 14.

Odpoveď: Po vojne ostalo 5​ studní

Komentár

V príklade sa dalo postupovať viacerými spôsobmi. Väčšinou sa vám podarilo prísť na to, že 5​ je riešenie, no bol trochu problém s otázkou, ako ukázať, že iné riešenia príklad nemá. V prvom riešení ukazujeme, ako sa tomuto problému elegantne vyhnúť bez použitia rovníc. Nakoniec sa pristavíme pri najčastejšom postupe, ktorý ste zvolili a ukážeme si, ako sa dal dokončiť, aby nenastal problém, či náhodou neexistujú iné riešenia (no je to kúsok ťažšie).