Presun Riešky výletu - Ahojte, milí riešitelia! Veríme, že rovnako ako my s tešíte na výlet, ktorý mal byť už túto nedeľu. Bohužiaľ z dôvodu predpokladaného nepriaznivého počasia sme sa rozhodli výlet o týždeň … Prejsť na článok
×10. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Dráhy kôz ako bežali a skočili do studne boli nasledovné. Studne 1 a 2 sú kružnice k_1 a k_2 so stredmi S_1 a S_2 a polomermi r_1 a r_2. Prvá koza bežala po priamke, ktorá prechádza S_1 a je dotyčnicou k_2 v bode P_2. Druhá koza bežala po priamke, ktorá prechádzala S_2 a bola dotyčnicou k_1 v bode P_1. Dráha prvej kozy pretla k_1 v bode Q_1 a dráha druhej kozy pretla k_2 v bode Q_2, a to tak, že P_1, P_2, Q_1 a Q_2 všetky ležia na rovnakej strane priamky S_1S_2. Aby ale kozy hladko leteli do studne, tak by malo platiť, že priamky Q_1Q_2 a S_1S_2 sú rovnobežné. Dokážte, že to naozaj platí.
Vzorové riešenie
Na začiatok si označme X priesečník dotyčníc zo zadania a zamyslime sa, čo vlastne chceme dokázať. Na to, aby boli priamky Q_1Q_2 a S_1S_2 rovnobežné, by muselo pre uhly platiť
|\sphericalangle S_1S_2P_1| = |\sphericalangle Q_1Q_2P_1|,
|\sphericalangle S_2S_1P_2| = |\sphericalangle Q_2Q_1P_2|.
Môžeme si všimnúť, že ak by niečo takéto platilo, boli by trojuholníky S_1S_2X a Q_1Q_2X podobné podľa vety uu. Skúsme teda nájsť nejaké podobnosti.
Odrazme sa od útvarov zo zadania. Ako prvé si môžeme všimnúť, že dotyčnice sú v bode dotyku vždy kolmé na polomer. Uhly \sphericalangle S_1P_1S_2 a \sphericalangle S_1P_2S_2 sú teda pravé. Okrem toho si môžeme všimnúť, že uhly \sphericalangle S_1XP_1 a \sphericalangle S_2XP_2 sú vrcholové a teda rovnako veľké. Trojuholníky S_1XP_1 a S_2XP_2 sú teda podobné podľa vety uu.
Čo ďalej? Podobnosť nám umožňuje prechádzať medzi uhlami a pomermi strán. Strany trojuholníka S_1S_2X sú aj v našej dvojici podobných trojuholníkov. Vieme si napísať
\dfrac{|S_1X|}{|S_2X|} = \dfrac{|S_1P_1|}{|S_2P_2|} = \dfrac{r_1}{r_2}.
Prvá rovnosť je dôsledkom podobnosti S_1XP_1 a S_2XP_2, druhá zo zadania, keďže S_1P_1 a S_2P_2 sú polomery. Polomermi sú však aj úsečky S_1Q_1 a S_2Q_2. To nám dáva informácie aj o bodoch trojuholníka Q_1Q_2X, aj keď zatiaľ nie také, aké by sme potrebovali. Máme
\dfrac{|S_1X|}{|S_2X|} = \dfrac{|S_1Q_1|}{|S_2Q_2|}.
Podľa úvah na začiatku nás zaujímajú úsečky Q_1X a Q_2X, ktoré sú stranami Q_1Q_2X. Vieme, že |Q_1X| = |S_1X| - |S_1Q_1| a |Q_2X| = |S_2X| - |S_2Q_2|. Našu rovnosť vydelíme |S_1Q_1| a vynásobíme |S_2X|. To nám dáva
\dfrac{|S_1X|}{|S_1Q_1|} = \dfrac{|S_2X|}{|S_2Q_2|},
odkiaľ odčítaním 1 od oboch strán rovnosti dostaneme
\dfrac{|S_1X|}{|S_1Q_1|} - 1 = \dfrac{|S_1X| - |S_1Q_1|}{|S_1Q_1|} = \dfrac{|Q_1X|}{|S_1Q_1|},
\dfrac{|S_2X|}{|S_2Q_2|} - 1 = \dfrac{|S_2X| - |S_2Q_2|}{|S_2Q_2|} = \dfrac{|Q_2X|}{|S_2Q_2|}.
Keďže sa rovnali pôvodné zlomky, budú sa rovnať aj po odčítaní, čím dostaneme rovnosť
\dfrac{|Q_1X|}{|S_1Q_1|} = \dfrac{|Q_2X|}{|S_2Q_2|}.
Môžeme si všinúť, že menovatele sú rovnaké ako pri porovnaní S_1X a S_2X. Keď vynásobíme naš rovnosť |S_1Q_1| a vydelíme |Q_2X| dostaneme
\dfrac{|Q_1X|}{|Q_2X|} = \dfrac{|S_1Q_1|}{|S_2Q_2|} = \dfrac{|S_1X|}{|S_2X|},
pričom druhú rovnosť môžeme nájsť vyššie v našom riešení. Úsečky Q_1X,\, Q_2X,\, S_1X,\, S_2X sú stranami trojuholníkov Q_1Q_2X a S_1S_2X. Tieto trojuholníky majú spoločný uhol pri vrchole X, takže sú podľa vety sus podobné. Odtiaľ plynie, že uhly \sphericalangle Q_1Q_2X a \sphericalangle S_1S_2X sú rovnaké a teda priamky Q_1Q_2 a S_1S_2 rovnobežné.
Komentár
S riešením ste sa popasovali zväčša dobre. Body ste strácali najmä na chýbajúcich vysvetleniach jednotlivých krokov, no i to stačilo na zisk väčšiny bodov za úlohu.
Možných riešení bolo viac. Dala sa napríklad využiť Tálesova kružnica a obvodové uhly na porovnanie
\sphericalangle Q_1Q_2X a \sphericalangle S_1S_2X, alebo využiť podobnosti trojuholníkov na zistenie vzdialeností bodov Q_1,\, Q_2 od priamky S_1S_2. Tieto riešenia však väčšinou problémy nepriniesli.