Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Nájdi všetky kladné reálne x,y,z pre ktoré platí:
\begin{aligned} x+\left\lfloor y \right\rfloor+\{z\}=1{,}1 \\ y+\left\lfloor z \right\rfloor+\{x\}=2{,}2 \\ z+\left\lfloor x \right\rfloor+\{y\}=3{,}3 \end{aligned}
Poznámka: \left\lfloor k \right\rfloor je dolná celá časť k a \{k\} je desatinná časť k. Napríklad \left\lfloor 4{,}5 \right\rfloor = 4 a \{4{,}5\} = 0{,}5.Vzorové riešenie
S celými a desatinnými časťami premenných sa dosť ťažko pracuje, preto by sme sa ich radi nejak zbavili. To môžeme urobiť napríklad tak, že sčítame celú a desatinnú časť nejakej premennej, vtedy totiž dostaneme pôvodnú premennú. Keďže každá premenná sa nachádza v sústave raz ako celá časť a raz ako desatinná časť, stačí nám sčítať všetky rovnice (súčet ich ľavých strán bude rovnaký ako súčet ich pravých strán). Tým dostaneme:
x + \left\lfloor{x}\right\rfloor + \{x\} + y + \left\lfloor{y}\right\rfloor + \{y\} + z + \left\lfloor{z}\right\rfloor + \{z\} = 6{,}6\\2(x + y + z) = 6{,}6\\x + y + z = 3{,}3
Ďalšie informácie môžeme získať z toho, že sčítame iba niektoré dvojice rovníc. Napríklad prvé dve:
x + y + z + \left\lfloor{y}\right\rfloor + \{x\} = 3{,}3\\\left\lfloor{y}\right\rfloor + \{x\} = 0
Využili sme pri tom, že x + y + z = 3{,}3 a toto odčítali od oboch strán. Keďže však teraz naľavo máme iba súčet desatinnej a celej časti, tak \left\lfloor{y}\right\rfloor musí byť práve celá časť a \{x\} práve desatinná časť pravej strany, čiže obe 0.
Môžeme pokračovať sčítavaním ďalších dvojíc rovníc. Zase vieme použiť podobný postup a vyjde nám celá a desatinná časť nejakých iných premenných. Z druhej a tretej rovnice máme:
x + y + z + \left\lfloor{z}\right\rfloor + \{y\} = 5{,}5\\\left\lfloor{z}\right\rfloor + \{y\} = 2{,}2
Takže \left\lfloor{z}\right\rfloor = 2 a \{y\} = 0{,}2. Nakoniec sčítame tretiu a prvú rovnicu:
x + y + z + \left\lfloor{x}\right\rfloor + \{z\} = 4{,}4\\\left\lfloor{x}\right\rfloor + \{z\} = 1{,}1
Takže \left\lfloor{x}\right\rfloor = 1 a \{z\} = 0{,}1. Teraz už máme všetko, čo potrebujeme, a vidíme, že riešenie je x = 1{,}0; y = 0{,}2; z = 2{,}1.
Komentár
Väčšina z vás úlohu riešila približne takto a zvládli ste to bez problémov. Bolo aj zopár riešení, kde ste rozoberali viacero rôznych prípadov, ktoré mohli nastať, tam ale treba dávať pozor, aby ste naozaj skúsili všetky možnosti. Inak na to, že to bol deviaty príklad, tak riešení bolo veľmi veľa a väčšina úplne správnych, takže ste šikovní :)