8. príklad - Vzorové riešenie

Predvedieme riešenie, ktoré pokryje ľubovoľný trojuholník. Nebudeme sa teda musieť venovať zvlášť rovnostranným ani iným trojuholníkom.

Zatiaľ nevieme, či bod X existuje, alebo nie. V takejto situúcií je vhodné na úvod predpokladať, že áno, a zistiť aké vlastnosti musí mať. Podľa týchto vlastností potom môžeme zúžiť počet možných kandidátov a buď vybrať takých, ktorí zadanie spĺňajú, alebo ukázať, že žiadny takí nie sú.

Čo nám teda zadanie hovorí o bode X? Má ležať vnútri nášho trojuholníka a každá priamka, ktorá ním prechádza, má deliť tento trojuholník na dve časti s rovnakým obsahom. Zvoľme si teda konkrétnu priamku — priamku z vrchola trojuholníka.

Keďže X leží vnútri, táto priamka rozdelí protiľahlú základňu na dve časti. Ich dĺžky označíme a,\, b. To budú zároveň základne trojuholníkov, ktoré vznikli týmto rozdelením. Výšku v majú tieto trojuholníky spoločnú, je to výška pôvodného trojuholníka. Na to, aby mali rovnaký obsah, musí platiť

\dfrac{av}{2} = \dfrac{bv}{2}.

To však znamená, že a = b. Naša priamka teda prechádza nie len vrcholom, ale aj stredom protiľahlej strany. Náš bod X teda musí ležať na ťažnici. Tento postup navyše vieme zopakovať aj pre zvyšné dva vrcholy, takže bod X musí ležať na všetkých troch ťažniciach. Taký bod je však iba jeden a tým je ťažisko trojuholníka.

Máme jediného kandidáta na bod X a tri priamky, ktoré cezeň prechádzajú a skutočne delia trojuholník na polovicu. Teraz musíme buď ukázať, že to spĺňajú aj ostatné priamky prechádzajúce X, alebo nájsť protipríklad. Podľa toho buď bude alebo nebude takýto bod existovať.

Po chvíli hrania sa s priamkami prechádzajúcimi ťažiskom zistíme, že správna cesta je tá druhá. Jednou takouto nevyhovujúcou priamkou je rovnobežka s niektorou stranou trojuholníka.

Označme si vrcholy ako na obrázku. Priamka p je rovnobežná s AB, prechádza ťažiskom, a zvyšné strany pretína v bodoch D a E. Pre poriadok označíme ešte Y stred strany AB.

Pozrime sa teraz na trojuholníky DXC a AYC. Keďže p a AB sú rovnobežky, uhly \sphericalangle CDX a \sphericalangle CAY sú súhlasné a teda rovnako veľké. Uhol \sphericalangle AXY majú oba trojuholníky spoločný. Sú teda podobné podľa vety uu. Keďže však má byť X ťažisko a CY ťažnica, vieme vypočítať aj koeficient podobnosti. Ťažisko leží v dvoch tretinách ťažnice, takže |CX| = \frac{2}{3} |CY|. Rovnako bude skrátená každá dĺžka, takže aj základňa, aj výška. Platí teda

\dfrac{|DX| \cdot v_{DX}}{2} = \dfrac{\frac{2}{3}a \cdot \frac{2}{3}v}{2} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{av}{2},

pričom a a v sú základňa a výška trojuholníka AYC. Trojuholník DXC má teda obsah \frac{4}{9} obsahu AYC, čo je zas polovica obsahu celého nášho trojuholníka. Samotné DXC tvorí teda \frac{2}{9} obsahu ABC.

Môžeme si všimnúť všimnúť, že rovnaký postup prejde aj pri trojuholníkoch XEC a YBC. Tie budú opäť podobné s rovnakým koeficientom podobnosti a ich obsahy budú v opäť rovnakom pomere. Aj YBC tvorí polovicu nášho trojuholníka, takže aj XEC bude tvoriť \frac{2}{9} obsahu.

Vráťme sa teda k priamke p. Tá delí náš trojuholník na dve časti. Jednou z nich je trojuholník DEC, o ktorom vieme, že tvorí \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9} obsahu trojuholníka ABC. Aby však bod X spĺňal zadanie, musela by to byť polovica. Vidíme teda, že ani ťažisko zadaniu nevyhovuje.

Odpoveď: Bod X spĺňajúci podmienky zo zadania neexistuje v žiadnom trojuholníku.

Komentár

Väčšina z vás zvolila obdobu riešenia, ktoré vidíte vyššie, poniektorí sa však pustili aj do o niečo komplikovanejších postupov. Spôsobov ako previesť jednotlivé kroky bolo hneď niekoľko.

V prípade ťažiska sa dalo napríklad povedať, že ak bodom X neprechádza ťažnica, prechádza ním nejaká rovnobežka s ňou. Keďže však ťažnica tento trojuholník delí na polovicu, takáto rovnobežka ho deliť nemôže. V prípade priamky p sa dalo napríklad porovnať obsahy trojuholníka DEC a lichobežníka ABDE, ktoré nemohli vyjsť rovnaké.

Aj keď ste základ mali často podobný, nevyhli ste sa ani chybám. Najčastejšie ste práve umiestnili bod X na ťažnicu preto, lebo ťažnica delí trojuholník na polovicu. To však bez úvahy zo vzoráku (alebo nejakej inej) nemôžete. My totiž nevieme nič o priamkach, ktoré bodom X neprechádzajú, tie nemajú zakázané deliť trojuholník na polovicu.

Okrem toho ste mali občas problém s prechodom medzi rovnostranným a všeobecným trojuholníkom. V rovnostrannom sú napríklad ťažnice zároveň výškami a tak ste sa snažili pracovať s výškami miesto ťažníc aj v obecnom prípade. To však nechávalo práve ťažisko ako neoverenú možnosť.