5. príklad - Vzorové riešenie

V tejto úlohe vlastne hľadáme nejaké veľké číslo, ktoré je násobkom všetkých čísel do 14 okrem dvoch. A vlastne ho ani nemusíme nájsť, ak budeme bez toho vedieť isto pofvedať, ktoré čísla ho budú deliť. O niektorých číslach vieme rýchlo povedať či môžu byť ich výroky nepravdivé. Číslo bude určite násobkom jednotky, ako každé prirodzené číslo, teda prvý výrok bude pravdivý. Vieme dokázať aj to, že číslo bude násobkom dvojky, teda bude párne. Ak by nebolo, nemohlo by byť ani násobkom žiadneho iného párneho čísla, tie sú všetky vždy párne. A to by potom bolo nepravdivých veľa informácií.

Vlastne si môžeme uvedomiť že takéto pravidlo platí pre všetky čísla. Ak nejaké číslo nie je deliteľné číslom n, tak nemôže byť deliteľné ani žiadnym násobkom n. Lebo ak je napríklad naše číslo deliteľné 14 (7 \cdot 2), tak je deliteľné bezo zvyšku aj 7, a dostaneme 2-krát väčší výsledok. Toto je pre všetky čísla po 7 problém, lebo ak by bol výrok o nich nepravdivý, musel by byť aj o čísle dva krát väčšom, no podľa zadania sú iba po sebe idúce výroky nepravdivé (okrem pre čísla 1 a 2, tie sú po sebe idúce ale o nich vieme, že číslo delia).

Teda vieme, že naše číslo je deliteľné všetkými číslami od 1 po 7. Môžeme sa skúsiť pozrieť, či nám tieto čísla nestačia na to, aby sme vedeli niečo povedať o ostatných. Pozrime sa preto na číslo 10. Jednoduché pravidlo delenia 10-timi hovorí, že ak je číslo deliteľné 5 a zároveň 2, je deliteľné aj 10. Podobne poznáme podmienku pre deliteľnosť 12 - deliteľnosť 3 a zároveň 4, a 14 - deliteľnosť 7 a zároveň 2. Všetky tieto čísla už vieme že naše číslo delia, takže môžeme to isté povedať aj o 10, 12 a 14.

Ak tieto pravidlá nepoznáme, môžeme si odvodiť pravidlo aj sami. Vždy zisťujeme deliteľnosť dvomi číslami, ktorých súčin nám dá číslo, na ktoré sa pýtame. Tu si však treba dať pozor, že toto NESTAČÍ. Napríklad pre deliteľnosť 12-kou nestačí, aby bolo číslo deliteľné 6 a 2. 2-ka je už totiž v čísle 6 “schovaná” a neprináša nám žiadnu novú informáciu, pretože všetko deliteľné šiestimi je deliteľné aj dvomi. Nutná podmienka teda je, aby tieto čísla nemali žiadneho spoločného deliteľa okrem 1. Preto pri deliteľnosti 12-timi používame čísla 3 a 4.

Keď už máme informácie o všetkých týchto číslach, že sú ich výroky pravdivé. Môžeme sa pozrieť, ktoré čísla by teda mohli mať výroky nepravdivé a teda veľké číslo nedeliť. Sú to dve po sebe idúce čísla, takže to už nemôžu byť 13 ani 11. Jediné zostávajúce čísla sú teda 8 a 9. Ich výroky teda musia byť nepravdivé, lebo sme ukázali že podľa podmienok žiadne iné byť nepravdivé nemôžu.

Ak by sme si chceli overiť, či také niečo môže nastať, nájdeme číslo 60~060 (najmenší spoločný násobok všetkých pravdivých čísel), pri ktorom sú naozaj nepravdivé len výroky 8 a 9.

Odpoveď: Nepravdivé sú výroky 8​ a 9​.