Odporúčaný článok

Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok

×
Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Na displeji bolo štvorciferné číslo n. Pod ním sa objavilo číslo n zaokrúhlené na desiatky, pod nimi číslo n zaokrúhlené na stovky a úplne dole bolo číslo n zaokrúhlené na tisícky. Keď sme všetky čísla na displeji sčítali, dostali sme výsledok 5443. Aké mohlo byť n? Nájdite všetky možnosti.

Vzorové riešenie

Opravovali: Paľo, katka_gersova

Ako prvé sme si mohli všimnúť, že každé zo zaokrúhlených čísel bude mať na mieste jednotiek 0​. To znamená, že cifra 3​ v súčte 5443​ je daná pôvodným číslom n​, ktoré zaokrúhlené nie je, a teda n​ sa končí trojkou.

Pre prehľadnosť si zapíšeme zadanie vo forme písmen:

\begin{array}{ccccc} & A & B & C & 3 \\ +& A & B & C & 0\\ +& A' & B' & 0 & 0\\ +& A' & 0 & 0 & 0\\ \hline & 5 & 4 & 4 & 3\end{array}

Kde čiarka znamená, že táto cifra bude buď zhodná s cifrou v pôvodnom čísle, alebo o jedna väčšia. V prípade, že by sme mali v dôsledku zaokrúhľovania zväčšiť o jedna cifru 9​, napíšeme namiesto nej 0​ a o jedna zväčšíme nasledujúcu cifru. Preto má v čísle n​ zaokrúhlenom na stovky v indexe čiarku aj cifra A'​. Cifra C​ čiarku nemá vôbec, keďže trojka zaokrúhľuje nadol.

Vidíme, že súčet dvoch cifier  C​ sa musí končiť cifrou 4​. Súčet dvoch jednociferných čísel môže byť najviac 18​, teda prichádzajú do úvahy dve rôzne hodnoty C​, a to C = 2, kedy bude súčet 4​ a C = 7, kedy bude súčet 14​.

Pozrime sa na prípad C = 2​. Dvojka zaokrúhľuje nadol, a teda súčet troch zhodných B musí v súčte na mieste stoviek vytvoriť cifru 4​. Súčet troch jednociferných čísel je najviac 27, a teda prichádzajú do úvahy súčty 4​, 14​ a 24​, z čoho je deliteľné tromi len číslo 24​. To znamená, že B = 8​. Pre číslo A​ platí, že musí byť väčšie ako 0​, v opačnom prípade by n nebolo štvorciferné. Ak by sme uvažovali na mieste A​ cifru 2​ a viac, súčet by bol najmenej 8000​. To znamená, že na mieste tisícok bude určite 1​. (Tento poznatok si zapamätajme, zíde sa nám aj pri C = 7​.) Skúsme teda dosadiť:

\begin{array}{ccccc} & 1 & 8 & 2 & 3 \\ +& 1 & 8 & 2 & 0\\ +& 1 & 8 & 0 & 0\\ +& 2 & 0 & 0 & 0\\ \hline & 7 & 4 & 4 & 3\end{array}

Vidíme, že súčet je väčší, to znamená, že C​ nemôže byť 2​.

Poďme sa teda pozrieť na prípad C = 7​. Sedmička zaokrúhľuje nahor a okrem toho nám jedna zostane zo súčtu 14​. To znamená, že 3 \cdot B + 2​ sa musí končiť štvorkou, a keďže toto môže byť najviac 29​, opäť prichádzajú do úvahy tri možné súčty: 3 \cdot B = 2​ alebo 12​ alebo 22​. Tromi je deliteľných len 12​, čiže B = 4​. Skúsme dosadiť:

\begin{array}{ccccc} & 1 & 4 & 7 & 3 \\ +& 1 & 4 & 7 & 0\\ +& 1 & 5 & 0 & 0\\ +& 1 & 0 & 0 & 0\\ \hline & 5 & 4 & 4 & 3\end{array}

A vidíme, že číslo 1473​ skutočne je hľadaným n​.

Iné riešenie

Mnohí ste sa na úlohu pozreli z iného hľadiska a k riešeniu ste sa dostali pomocou priemerov a odhadov. Zistili ste napríklad, že hľadané číslo n​ musí byť menšie ako 1500​, keďže v opačnom prípade by sa číslo na tisícky zaokrúhľovalo nahor, a výsledok by bol aspoň 6500​:

\begin{array}{ccccc} & 1 & 5 & 0 & 0 \\ +& 1 & 5 & 0 & 0\\ +& 1 & 5 & 0 & 0\\ +& 2 & 0 & 0 & 0\\ \hline & 6 & 5 & 0 & 0\end{array}

Takto vieme, že posledné zaokrúhlené číslo musí byť 1000​, a teda súčet zvyšných troch je 4443​. Priemerná hodnota je 4443 : 3 = 1481​ takže máme približnú hodnotu, blízko ktorej by malo byť aj naše číslo n. V tomto bode bola správna otázka, či číslo n​ vie byť menšie ako 1450​ a odpoveď je, že nie, pretože na to, aby sme dosiahli priemer 1481​ sa musí číslo na stovky zaokrúhliť na 1500​. Vieme teda, že A = 1​, B = 4​, C\ge 5​ a na mieste jednotiek bude trojka. C​ vieme už ľahko dopočítať a dostať sa tak k správnemu výsledku n = 1473

Komentár

Celkovo úloha dopadla veľmi dobre, každý sa dopracoval aspoň k časti informácií o čísle n​ a väčšina aj k správnemu výsledku 1473​. Potešilo ma to :))

Mnohí ste ale pri C = 2​ zabudli, že B​ môže byť aj 8​, keďže súčet troch cifier môže byť až 27​. Keďže takýto prípad mohol potenciálne viesť k správnemu riešeniu, bolo potrebné ho dôsledne preveriť.