1. príklad - Vzorové riešenie

Všimnime si, že všetky čísla, ktoré mohli ľudia mať na chrbte, sú kladné. To znamená, že akonáhle máme súčet väčší než 52 a ešte niektorí nemajú číslo na chrbte, tak máme nevyhovujúcu možnosť. Z tohto vyplýva, že naši trinásti ľudia nemôžu mať medzi sebou 11 pätiek alebo viac, lebo by náš súčet čísel bol príliš veľký.

Navyše, s trochu hlbšou úvahou vieme zistiť, že ani desať pätiek nie je možných. Ak by sme ich mali desať, tak to samo o sebe dáva súčet 50 a ešte traja ľudia potrebujú dostať číslo. Všimnime si, že títo traja dostanú najmenej súčet 3, ak im dáme jednotky (a ak im dáme väčsie čísla, tak sa im súčet samozrejme zvýši). To ale dokopy dáva súčet prinajmenšom 53 \gt 52, čo nevyhovuje.

Preto pätiek je najviac deväť. Všimnime si, že deväť by ich byť mohlo, keď zvyšným ľuďom rozdáme tri dvojky a jednu jednotku, lebo 9 \cdot 5 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 52.

To je aj jediná možnosť, ktorá vyhovuje zadaniu a to teraz dokážeme. Presnejšie, ukážeme, že súčet čísel už bude primalý, nech už čísla prideľujeme akokoľvek. Keďže súčty budú malé, rovno môžeme priraďovať iba dvojky a päťky, lebo jednotky by situáciu iba zhoršili. Ak máme 8 pätiek, tak náš súčet je najviac 8 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = 50 \lt 52 . Za každú ďalšiu päťku, ktorú odoberieme, sa náš maximálny možný súčet zmenší o tri. Preto menšie počty ani nemusíme skúšať.

Odpoveď: Jediná možnosť je, že deväť ľudí má na chrbte 5, traja majú 2 a ten posledný trinásty má 1.

Komentár

Príklad sa vám zväčša podaril. No ak skúšate možnosti, treba ich vyskúšať naozaj všetky. Druhá možnosť, ktorú máte, je popísať, prečo iné možnosti nemá zmysel skúšať, tak ako sme to práve urobili vo vzorovom riešení.