8. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Klára si zobrala plochu, na ktorej boli nakreslené body X a Y. Potom si na nej zvolila bod A a zostrojila ďalšie body nasledovne:
- bod B je obraz bodu A v stredovej súmernosti podľa bodu X,
- bod C je obraz bodu B v stredovej súmernosti podľa bodu Y,
- a bod D je obraz bodu C v stredovej súmernosti podľa bodu X.
Kláre sa však nechce hľadať toľko stredových súmerností. Namiesto toho by radšej zostrojila rovno bod D ako obraz bodu A v stredovej súmernosti podľa nejakého bodu Z. Existuje takýto bod Z, ktorý má túto vlastnosť, bez ohľadu na to, ako si Klára vyberie bod A? Ak áno, ako ho má nájsť?
Vzorové riešenie
Najprv si rozmyslime, čo musí platiť pre náš hľadaný bod Z. Vieme, že je to stred súmernosti medzi bodmi A a D. Zo stredovej súmernosti vieme, že potom musia byť body A, Z aj D na jednej priamke a zároveň pre vzdialenosti medzi týmito bodmi platí |AZ|=|ZD|. Teda vidíme, že Z musí byť stred úsečky AD. Teraz skúsime nájsť tento bod.
Všimnime si, že bod A je stredovo súmerný podľa X s bodom B a zároveň bod C je stredovo súmerný s bodom D tiež podľa X. Z toho nám vyplýva, že celá úsečka BC je stredovo súmerná s úsečkou AD podľa X.
Ďalej vieme, že Y je stred súmernosti podľa ktorej sa nám bod B zobrazí do bodu C. Preto musí byť bod Y stredom úsečky BC.
Teraz si môžeme všimnúť, že stred úsečky BC sa nám v stredovej súmernosti podľa X musí zobraziť do stredu úsečky AD, keďže tieto úsečky sú súmerné práve podľa bodu X. Teda ak zobrazíme bod Y v stredovej súmernosti podľa X nájdeme stred úsečky AD, čo je náš hľadaný bod Z.
Ešte by sme sa mali zamyslieť nad tým, čo by sa stalo ak by úsečky BC a AD neexistovali, teda by body B a C a body A a D boli totožné. V takomto prípade je B zároveň bod Y. Podobne bod Z musí byť zároveň bod A, lebo bod A sa zobrazí podľa Z sám do seba. No a keďže vieme, že bod B sa nám podľa X zobrazí do A, tak potom bod Z tiež vieme nájsť ako obraz bodu Y podľa X.
Odpoveď: Hľadaný bod Z vieme nájsť ako obraz bodu Y v stredovej súmernosti podľa bodu X.
Komentár
Väčšina z vás prišla k správnemu riešeniu. Napriek tomu, len málo riešení bolo ohodnotených na plný počet bodov. Najčastejšou chybou, na ktorú by sme chceli upozorniť bolo, že ste nevyriešili všetky možné konfigurácie bodov X,Y a A. Veľa z vás úlohu dokazovalo pomocou súmernosti trojuholníkov XAD a XBC alebo pomocou rovnobežníka BCAD. V takýchto prípadoch bolo potrebné prešetriť aj možnosti, keď nám tieto útvary nevznikli.
Bodovanie