Presun Riešky výletu - Ahojte, milí riešitelia! Veríme, že rovnako ako my s tešíte na výlet, ktorý mal byť už túto nedeľu. Bohužiaľ z dôvodu predpokladaného nepriaznivého počasia sme sa rozhodli výlet o týždeň … Prejsť na článok
×7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Nájdite všetky číslice A, B, pre ktoré platí:
\begin{aligned} \text{NSD}(AB, BA) = A + B \\ \text{nsn}(AB, BA) = 5 \cdot AB \end{aligned}
Poznámka: AB znamená číslice A a B napísané vedľa seba. \text{NSD} je najväčší spoločný deliteľ a \text{nsn} najmenší spoločný násobok.Vzorové riešenie
Keďže nsn(AB, BA) = 5 \cdot AB, tak 5 \cdot AB je násobok BA. Ak by BA nebolo deliteľné 5, tak by BA muselo byť nejakým deliteľom AB. To by však znamenalo, že nsn(AB, BA) = AB, čo podľa zadania neplatí. To znamená, že BA musí byť násobok 5.
Aby nejaké číslo bolo deliteľné 5, musí sa jeho posledná cifra rovnať 0 alebo 5. Keďže však AB aj BA sú dvojciferné čísla, tak cifry A, B sú nenulové. To znamená, že aby BA bolo deliteľné 5, musí byť cifra A rovná 5.
Z prvej rovnice vieme, že AB je deliteľné A + B. AB = 10 \cdot A + B = 50 + B a A + B = 5 + B. Keďže 5 + B delí 50 + B, potom 5 + B delí aj 50 + B - (5 + B) = 45. Keďže B je cifra a číslo BA je dvojciferné, tak B je aspoň 1 ale najviac 9, takže 5 + B je aspoň 6, ale najviac 14. Delitele čísla 45 sú 1, 3, 5, 9, 15 a 45, z toho je len jeden väčší ako 6 ale menší ako 14, a to 9, ktorý dostaneme ak B = 4.
Trikové riešenie
Najprv dokážeme známe tvrdenie, že NSD(a,b) \cdot nsn(a,b) = a \cdot b. Samotné riešenie príkladu sa začne až v 3. odseku.
Nech a = a’ \cdot NSD(a,b) a b = b’ \cdot NSD(a,b), teda a’ je súčin prvočísel, ktoré obsahuje len a a b’ je súčin prvočísel, ktoré obsahuje len b. Najmenší spoločný násobok a a b sa počíta ako súčin prvočísel ktoré obsahuje len a krát súčin prvočísel ktoré obsahuje len b, krát súčin prvočísel, ktoré obsahuje a aj b. To znamená, že nsn(a,b) = a’ \cdot b’ \cdot NSD(a,b). Po prenásobení rovnosti NSD(a,b) a dosadení a’ \cdot NSD(a,b) = a a b’ \cdot NSD(a,b) = b dostávame NSD(a,b) \cdot nsn(a,b) = a \cdot b.
Zadané rovnice prenásobime medzi sebou, pravé strany spolu a ľavé strany spolu. Dostaneme
\begin{aligned} NSD(AB, BA) \cdot nsn(AB,BA) = (A + B) \cdot 5 \cdot (AB). \end{aligned}
Ľavá strana sa z dokazovaného tvrdenia rovná AB \cdot BA.
\begin{aligned} AB \cdot BA &= (A+B) \cdot 5 \cdot (AB), \\ BA &= 5 \cdot (A+B). \end{aligned}
Zápis BA sa dá rozpísať ako 10 \cdot B + A.
\begin{aligned} 10 \cdot B + A &= 5 \cdot A + 5 \cdot B, \\ 5 \cdot B &= 4 \cdot A. \end{aligned}
Cifry A a B nemôžu byť 0, inak by AB alebo BA nebolo dvojciferné číslo. Z rovnice je vidno, že 4 \cdot A je deliteľné piatimi, avšak to je možné len A je deliteľné piatimi. Jediná nenulová cifra deliteľná piatimi je 5, čo bude naše A. Po dosadení A = 5 do rovnosti 5 \cdot B = 4 \cdot A a predelení 5 dostávame B = 4.
Odpoveď: Jediná dvojica cifier A, B vyhovujúca zadaniu je A = 5 a B = 4.