Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Z Kamenného hradu vyrážajú ráno dva vlaky (osobák a rýchlik) v rovnakom čase rovnakou rýchlosťou smerom do dediny. Keď prídu do dediny, rozdelia sa a osobák sa vráti na hrad po rovnakej trase. Rýchlik pokračuje až do mesta, a tam sa otáča a ide po rovnakej trase naspäť až do hradu.
Dve skupiny študentov z mesta sa ráno vybrali do školy na Kamennom hrade. Prvá skupina vyrazila o 6\text{:}00, prešla pešo do dediny a presne stihla osobák. Druhá skupina vyrazila o 7\text{:}00 rýchlikom priamo z mesta na hrad, a tak prišli do školy o 20 minút neskôr ako ich spolužiaci z osobáku.
Ako dlho trvalo študentom prejsť pešo z mesta do dediny?
Môžete predpokladať, že oba vlaky sa celý čas pohybujú stále tou istou rýchlosťou a otáčanie vlakov ako aj nastupovanie študentov trvá nulový čas (vlak odchádza z dediny a z mesta v tom istom momente, ako prišiel).
Vzorové riešenie
Pozrime sa detailnejšie na cesty vlakov:
- najprv oba naraz vyrazia z hradu,
- potom oba naraz prídu do dediny,
- osobák ide z dediny do hradu, zatiaľ čo rýchlik ide z dediny do mesta a naspäť do dediny,
- rýchlik ide z dediny a na hrad príde o 20 minút neskôr ako osobák.
Každý z vlakov šiel z hradu do dediny a naspäť a rýchlik si k tomu ešte pridal cestu z dediny do mesta a naspäť. Rýchlika táto cesta z dediny do mesta a naspäť stála 20-minútové zdržanie. Keďže cesta z dediny do mesta a z mesta do dediny trvá rýchliku rovnako dlho, bude to 20:2=10 minút. Vieme, že rýchlik bol v meste o 7\text{:}00, keďže tam vtedy nakladal druhú skupinu študentov. Z toho teda vyplýva, že v dedine musel byť rýchlik o 6\text{:}50, keďže mu cesta z dediny do mesta trvá 10 minút. Ak prvá skupina vyrazila o 6\text{:}00 a vlaky boli v dedine v rovnaký čas (6\text{:}50), znamená to, že chôdza musela študentom prvej skupiny zabrať 50 minút.
Iné riešenie
Označme si hľadaný čas chôdze študentov z mesta do dediny t_\text{chôdza}, čas cesty vlaku z dediny na hrad t_{DH}, čas cesty rýchlikov z mesta do dediny t_{MD}.
Potom si čas t od odchodu prvej skupiny z mesta (6\text{:}00) do príchodu druhej skupiny do hradu vieme vyjadriť ako
t = t_\text{chôdza} + t_{DH} + 20,\\ t = 60 + t_{MD} + t_{DH}.
Z čoho vyplýva
t_{chôdza} = t_{MD} + 40.
Tu nám zostal jeden neznámy člen t_{MD}. V takomto prípade (keď nám zostane neznáma, ktorú si už nevieme z ničoho doteraz použitého vyjadriť), je vhodné zamyslieť sa, čo zo zadania sme v rovniciach ešte nevyužili. Nevyužili sme fakt, že vlaky vyrazili naraz, a teda jednoduchou úvahou z riešenia vyššie, si vieme za t_{MD} dosadiť 10 minút, čím nám vyjde rovnaké riešenie ako vyššie, a to 50 minút.
Odpoveď: Študentom trvalo prejsť peši z mesta do dediny 50 minút.