6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Z Kamenného hradu vyrážajú ráno dva vlaky (osobák a rýchlik) v rovnakom čase rovnakou rýchlosťou smerom do dediny. Keď prídu do dediny, rozdelia sa a osobák sa vráti na hrad po rovnakej trase. Rýchlik pokračuje až do mesta, a tam sa otáča a ide po rovnakej trase naspäť až do hradu.

Dve skupiny študentov z mesta sa ráno vybrali do školy na Kamennom hrade. Prvá skupina vyrazila o 6\text{:}00, prešla pešo do dediny a presne stihla osobák. Druhá skupina vyrazila o 7\text{:}00 rýchlikom priamo z mesta na hrad, a tak prišli do školy o 20 minút neskôr ako ich spolužiaci z osobáku.

Ako dlho trvalo študentom prejsť pešo z mesta do dediny?

Môžete predpokladať, že oba vlaky sa celý čas pohybujú stále tou istou rýchlosťou a otáčanie vlakov ako aj nastupovanie študentov trvá nulový čas (vlak odchádza z dediny a z mesta v tom istom momente, ako prišiel).

Vzorové riešenie

Opravovali: katka_gersova, mati

Pozrime sa detailnejšie na cesty vlakov:

  • najprv oba naraz vyrazia z hradu,
  • potom oba naraz prídu do dediny,
  • osobák ide z dediny do hradu, zatiaľ čo rýchlik ide z dediny do mesta a naspäť do dediny,
  • rýchlik ide z dediny a na hrad príde o 20 minút neskôr ako osobák.

Každý z vlakov šiel z hradu do dediny a naspäť a rýchlik si k tomu ešte pridal cestu z dediny do mesta a naspäť. Rýchlika táto cesta z dediny do mesta a naspäť stála 20-minútové zdržanie. Keďže cesta z dediny do mesta a z mesta do dediny trvá rýchliku rovnako dlho, bude to 20:2=10​ minút. Vieme, že rýchlik bol v meste o 7\text{:}00, keďže tam vtedy nakladal druhú skupinu študentov. Z toho teda vyplýva, že v dedine musel byť rýchlik o 6\text{:}50​, keďže mu cesta z dediny do mesta trvá 10​ minút. Ak prvá skupina vyrazila o 6\text{:}00​ a vlaky boli v dedine v rovnaký čas (6\text{:}50​), znamená to, že chôdza musela študentom prvej skupiny zabrať 50 minút.

Iné riešenie

Označme si hľadaný čas chôdze študentov z mesta do dediny t_\text{chôdza}, čas cesty vlaku z dediny na hrad t_{DH}​, čas cesty rýchlikov z mesta do dediny t_{MD}.

Potom si čas t od odchodu prvej skupiny z mesta (6\text{:}00​) do príchodu druhej skupiny do hradu vieme vyjadriť ako

t = t_\text{chôdza} + t_{DH} + 20,\\ t = 60 + t_{MD} + t_{DH}.

Z čoho vyplýva

t_{chôdza} = t_{MD} + 40.

Tu nám zostal jeden neznámy člen t_{MD}. V takomto prípade (keď nám zostane neznáma, ktorú si už nevieme z ničoho doteraz použitého vyjadriť), je vhodné zamyslieť sa, čo zo zadania sme v rovniciach ešte nevyužili. Nevyužili sme fakt, že vlaky vyrazili naraz, a teda jednoduchou úvahou z riešenia vyššie, si vieme za t_{MD} dosadiť 10 minút, čím nám vyjde rovnaké riešenie ako vyššie, a to 50 minút.

Odpoveď: Študentom trvalo prejsť peši z mesta do dediny 50​ minút.