5. príklad - Vzorové riešenie

Na úvod sa zamyslime nad počtom cifier dvojnásobku nášho hľadaného čísla. Najväčšie štvorciferné číslo je 9999, takže najväčší možný dvojnásobok je 19998. Bude mať teda štyri alebo päť cifier. Vieme však, že toto číslo je dvojnásobok a zároveň palindróm. Keďže je dvojnásobok, bude isto párne a teda bude končíť na párnu cifru. Keďže je to palindróm tak má prvú a poslednú cifru rovnakú. Daný dvojnásobok teda musí začínať na párnu cifru, čo 1 nie je. Všetky prípustné päťciferné čísla však začínajú 1, náš dvojnásobok teda bude mať len štyri cifry.

Zadanie si teraz môžeme zapísať pod seba:

\begin{matrix} A & B & C & D \\ & & \cdot & 2 \\\hline E & F & F & E \end{matrix}

ABCD je naše hľadané číslo, jeho cifry sú navzájom rôzne a platí A+B+C+D = 16. Číslo EFFE je jeho dvojnásobok, pričom o E sme už zistili, že je to párna cifra.

Odrazme sa práve od E, toho na začiatku. Najväčší prechod cez desiatku, ktorý môžeme dostať pri násobení dvomi je 1. (9 \cdot 2 + 1 = 19.) O E na začiatku teda platí buď E = 2 \cdot A alebo E = 2 \cdot A + 1. My však vieme, že E je párne, čomu druhá možnosť nevyhovuje.

Preskočme teraz s novým zistením na koniec. A a D sú rôzne cifry, ktoré keď vynásobíme dvomi, dajú číslo končiace tou istou cifrou (E). Pri jednom násobení teda príde k prechodu cez 10, v druhom nie. Vidíme, že pri násobení nepribúdajú cifry, takže bez prechodu bude násobenie A. Máme 2 \cdot A = E a 2 \cdot D = 10 + E = 10 + 2 \cdot A, čo znamená, že D = 5 + A.

Pokračujme teraz k druhej pozícii odzadu. Keďže pri násobení D máme prechod cez desiatku, vidíme, že F bude nepárne. Dvojnásobok C bude končiť párnou cifrou, čo sa nám pričítaním 1 zmení. Túto myšlienku však vieme využiť aj naopak. Aby F, teraz druhá cifra, bolo nepárne, nestačí nám len vynásobiť B dvomi. Musíme pripočítať ešte prechod cez 10, ku ktorému musí dôjsť pri násobení C.

Spomeňme si teraz na to, že pri násobení A nepripočítavame prechod. Platí teda 2 \cdot B + 1 = F a 2 \cdot C + 1 = 10 + F = 10 + 2 \cdot B + 1, odkiaľ vieme dopočítať C = B + 5.

Vráťme sa teraz k podmienke s ciferným súčtom. Tá hovorí, že A+B+C+D=16. My však vieme, že D = A+5 a C = B + 5. Takže A + B + B+5 + A+5 = 16, odkiaľ 2 \cdot (A+B) = 6. Súčet A a B je teda 3. Keďže sú nenulové, musia byť 1 a 2, len nevieme v akom poradí.

Overme teda obe možnosti. Ak A=1 a B=2 dostávame C=7 a D = 6. Cifry sú rôzne a ich súčet sedí. 1276 \cdot 2 = 2552, čo je palindróm. Naopak, pre A=2 a B=1 dostávame C=6 a D=7. Cifry ani ich súčet sa nezmenili, zostáva overiť dvojnásobok. 2167 \cdot 2 = 4334, čo je opäť palindróm. Máme teda dve riešenia.

Odpoveď: Hľadané štvorciferné číslo môže byť 1276 alebo 2167.