Odporúčaný článok

Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok

×
Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Zámok bol v tvare štvorčekovej siete 5 \times 5. V každom políčku bolo jedno kladné celé číslo tak, aby súčet každých troch susedných čísel (vedľa seba v jednom riadku alebo v jednom stĺpci) bol 6. Zároveň bol súčet všetkých čísel najväčší, aký je s takouto podmienkou možné docieliť. Nájdite takéto usporiadanie a dokážte, že ide skutočne o najväčší možný súčet.

Vzorové riešenie

Opravovali: Oliver, Prutky

Ako prvé sa môžeme pozrieť na to, ako využiť podmienku "súčet každých troch susedných políčok (v jednom riadku alebo jednom stĺpci) je 6". Nazvime si takéto tri políčka ako Trojicu. Môžme si teraz všimnúť, že vieme celú tabuľku rozdeliť na takých 8 Trojíc, že sa žiadne dve z nich neprekrývajú. Po takomto rozdelení nám zostane iba jedno políčko v strede tabuľky ktoré nepatrí do ani jednej Trojice.

Konkrétne rozloženie čísel v jednej Trojici nám neovplyvňuje súčet celej tabuľky, lebo každá z týchto Trojíc podľa pravidiel má súčet 6, nech sú čísla v nich hocijaké. Tak isto, každé číslo sa nachádza v práve jednej Trojici, takže bude v celkovom súčte zarátané práve raz.

Z nášho rozdelenia vidíme, že celkový súčet v tabuľke bude ( 6 \cdot 8 ) + stred. V strede teda chceme mať čo najväčšie číslo, aby sme mali celkový súčet čo najväčší. Aké najväčšie číslo vieme použiť v jednom políčku tabuľky?

Kedže každá trojica má súčet práve 6 a v každom políčku máme kladné celé číslo, tak najväčšie číslo dosiahneme tak, že zvyšné dve budú najmenšie možné. Najmenšie kladné celé číslo je 1, takže najväčšie číslo v políčku bude 6 - 1 - 1 = 4. V strede teda bude najviac 4. V takomto prípade bude mať naša tabuľka súčet ( 6 \cdot 8 ) + 4 = 52.

Teraz keď sme dokázali, že 52 je najväčší možný súčet v tabuľke, tak nám stačí nájsť jedno vyplnenie tabuľky také, že spĺňa zadanie a má súčet 52. Tu sú dve ukážky takéhoto vyplnenia tabuľky:

Odpoveď: Najväčší možný súčet čísel v tabuľke je 52.