Presun Riešky výletu - Ahojte, milí riešitelia! Veríme, že rovnako ako my s tešíte na výlet, ktorý mal byť už túto nedeľu. Bohužiaľ z dôvodu predpokladaného nepriaznivého počasia sme sa rozhodli výlet o týždeň … Prejsť na článok
×3. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Kruh mal po obvode rozložených 6 krúžkov ako na obrázku. V každom z nich bola napísaná nejaká číslica. Číslice boli navzájom rôzne a žiadna z nich nebola nula. Keď rozdelíme kruh na polovicu
- podľa plnej čiary, súčet číslic na jednej polovici bude 2-krát väčší ako na tej druhej,
- podľa čiarkovanej čiary, súčet na jednej polovici bude 4-krát väčší ako na druhej,
- podľa bodkovanej čiary, dvojnásobok súčtu na jednej polovici bude rovnaký ako trojnásobok súčtu na druhej.
Akých 6 číslic by mohlo byť napísaných do krúžkov a aké bude ich poradie? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo žiadne ďalšie už nie sú.
Vzorové riešenie
Zamyslime sa najprv nad tým, aké súčty mohli byť na jednotlivých stranách. Najmenší možný súčet je 1+2+3=6, najväčší naopak 7+8+9=24. Môžeme si všimnúť, že 24 je 4-násobkom 6. Toto je teda jediné možné rozdeleni pozdĺž čiarkovanej čiary. Ak by sme zmenšili 24, museli by sme na zachovanie pomeru zmenšiť aj 6, čo nejde, podobne ako nejde zväčšiť 24, pri zväčšení 6. Navyše, keďže jednotlivé cifry musia byť rôzne, máme jednoznačne dané aj cifry, z ktorých musíme dané súčty poskladať.
Čo ďalej? Máme k dispozícii cifry 1,\, 2,\, 3,\, 7,\, 8,\, 9. Pri delení podľa plnej čiary musí byť súčet na jednej strane dvojnásobný ako na druhej. Keď sčítame dokopy čísla na oboch stranách, dostaneme 1+2 = 3-násobok súčtu na menšej strane. My však poznáme, ktoré čísla sú v krúžkoch, takže vieme aj ich súčet. Ten je 30. Na menšej strane podľa plnej čiary musí byť teda súčet 10, na väčšej bude 20. To so zadaním sedí.
Skúsme sa teraz zamyslieť nad tým, ako budú čísla umiestnené. Prvé čo si môžeme všimnúť je, že ak otočíme obrázok o 180 \degree dostaneme to isté. Vymenia sa len jednotlivé strany pozdĺž čiar.
Zvoľme si teda také otočenie, že naľavo od čiarkovanej čiary budú čísla 1,\, 2,\, 3 a napravo 7,\, 8,\, 9. Označme si ľavé horné číslo LH a pravé dolné PD. Môžeme si všimnúť, že súčet nad plnou čiarou je rovnaký ako súčet napravo od čiarkovanej, len sa v ňom miesto PD vyskytne LH. Keďže napravo sú väčšie čísla ako naľavo, touto výmenou sa súčet zmenší.
Opäť nás môže zaujímať o koľko? Ak nahradíme najväčšie možné číslo (9) najmenším možným (1), nastane najväčšia zmena, konkrétne o 8. Súčet nad plnou čiarou by bol 14. Naopak ak nahradíme najmenšie možné číslo (7) najväčším možným (3), súčet sa zmení najmenej, konkrétne o 4. Bude tak 20. My chceme zmeniť súčet na 10 alebo 20, čo sú zmeny o 14, respektíve o 4. Prvé dosiahnuť nevieme a druhé má len jedinú možnosť -- spomínaých 7 za 3.
Prejdime teraz k bodkovanej čiare. Vidíme, že na jednej strane má 3, na druhej 7. Okrem toho od seba oddeľuje 8 a 9 a taktiež 1 od 2. Naľavo od bodkovanej čiary teda môže byť súčet najmenej 1+3+8 = 12 a najviac 2+3+9 = 14. To znamená, že máme len tri možné súčty. Po rozdelení teda môže byť na jednotlivých stranách buď 12 a 18, alebo 13 a 17, alebo 14 a 16. Zadanie nám hovorí, že dvojnásobok súčtu na jednej polovici bude rovnaký ako trojnásobok súčtu na tej druhej. To platí len pri prvom rozdelení. Čísla tak už vieme jednoznačne doplniť. Nesmieme ešte zabudnúť na otočenie.
Odpoveď: V krúžkoch boli cifry 1,\, 2,\, 3,\, 7,\, 8,\, 9 v jednom z dvoch poradí:
