6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Postava mala tvar trojuholníka ABC. V trojuholníku ABC označme D priesečník osi uhla BAC a strany BC. Platí, že AD=AC a navyše je uhol ACB dvakrát taký veľký ako uhol ABC. Určte veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka ABC.
Vzorové riešenie
Na začiatok si nakreslime obrázok a vyznačme si, čo poznáme zo zadania. AD je os uhla, tak označíme |\sphericalangle BAD| = |\sphericalangle DAC| = \alpha. Zadané máme aj |\sphericalangle ACB| = 2 \cdot |\sphericalangle ABC| = 2 \cdot \beta, teda |\sphericalangle ABC| = \beta. V riešení máme ešte jednu vedomosť. Platí |AD| = |AC|, čo znamená, že trojuholník ADC je rovnoramenný. Uhly pri základni musí mať rovnaké, čo znamená, že |\sphericalangle ADC| = |\sphericalangle ACD| = 2 \cdot \beta.
Zo zadania sme už vyčerpali všetky informácie, zostáva nám už len počítať s tým, čo máme. Prvou zaujímavú informáciu môže poskytnúť trojuholník ACD. Súčet jeho uhlov má byť 180°. Z informácií o jeho uhloch tak dostaneme
\alpha + 2 \beta + 2 \beta = 180°.
To nám samo o sebe veľa nepovedalo. Pozrime sa na bod D. Uhly \sphericalangle ADC a \sphericalangle ADB tvoria dokopy priamy uhol. Aby ich súčet bol 180°, musí platiť
|\sphericalangle ADB| = 180° - 2 \cdot \beta.
Vráťme sa k trojuholníkom. Vieme, že súčet uhlov v ABD je 180°. Dva uhly sú \beta a 180°-2\beta, tretí uhol teda musí byť \beta, aby nám vyšiel správny súčet. Prvé dva uhly boli \sphericalangle ABD a \sphericalangle ADB, tretí uhol je teda \sphericalangle BAD. O ňom vieme, že má byť rovnako veľký ako \alpha a po novom aj ako \beta. Takže tieto dva uhly sú rovnaké, t. j. \alpha = \beta.
Spomeňme si na prvý trojuholník, ktorého súčet uhlov sme počítali. Pre ACD sme dostali, že musí platiť \alpha + 2\beta + 2\beta = 180°. Keďže \alpha = \beta, môžeme to napísať ako
\alpha + 2\alpha + 2\alpha = 5\alpha = 180° \Rightarrow \alpha = 36°.
Vypočítali sme \alpha a teda aj \beta. Vráťme sa k nášmu obrázku a skúsme dopočítať pôvodné uhly.
|\sphericalangle BAC| = 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 36° = 72°,
|\sphericalangle ABC| = \beta = 36°,
|\sphericalangle BCA| = 2 \cdot \beta = 2 \cdot 36° = 72°.
Ľahko môžeme overiť, že ich súčet je 180° a teda, že sú to skutočne uhly trojuholníka.
Odpoveď: Vnútorné uhly trojuholníka majú 72°, 36° a 72°.
Komentár
Väčšina z vás si s príkladom poľahky poradila, no našli sa i takí, ktorí spravili nejaké drobné chyby. Tou najčastejšou boli chýbajúce vysvetlenia výpočtov, no body sme strhávali len zriedka.