4. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Dvaja piráti a ich pes počítajú ovce. Počet oviec musí spĺňať nasledujúce podmienky:

  • Je to šesťciferné kladné celé číslo.
  • Je deliteľné 45 bezo zvyšku.
  • Na mieste stotisícok má číslicu 1.
  • Na mieste tisícok má číslicu 2.
  • Na mieste desiatok má číslicu 3.

Koľko rôznych počtov oviec spĺňa tieto podmienky?

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, Zuzka, katka_gersova

Zo zadania vieme, že hľadané počty oviec majú byť deliteľné 45​. Pracovať s takýmto veľkým číslom je ale pri deliteľnosti celkom nepraktické. Môžeme si to však zjednodušiť. Ak si spravíme prvočíselný rozklad čísla 45​ dostaneme 5⋅3⋅3. Vieme teda povedať, že každý možný počet oviec, ktorý bude mať vo svojom prvočíselnom rozklade 5​ a 9​ (čiže 3⋅3​) bude deliteľný 45, a bez toho určite nebude. Stačí nám teda nájsť čísla, ktoré sú deliteľné 5​ a 9​.

Zopakujme si, kedy je číslo deliteľné 5​ a 9​:

  • Číslo je deliteľné 9​, ak je jeho ciferný súčet deliteľný 9.
  • Číslo je deliteľné 5​, ak má na mieste jednotiek 0​ alebo 5.

​Neznáme cifry si označíme ako A​, B​ a C​, vtedy bude naše číslo vyzerať takto: 1A2B3C​.  Vieme však, že na mieste jednotiek musí byť 0​ alebo 5​ (aby bolo deliteľné 5​), hľadanie neznámych čísel si teda rozdelíme na dve časti (C = 0​ a C = 5​). Vždy  budeme hľadať čísla A​ a B​ tak, aby bol ciferný súčet výsledného čísla deliteľný 9.

Čísla zakončené na 0​:

Ak je číslo zakončené na 0​, tak jeho ciferný súčet je 1+A+2+B+3+0 = 6+A+B​. Vieme, že náš ciferný súčet bude od 6​ (ak by sme za A​ a B​ dosadili dve 0​) do 24​ (ak by sme za A​ a B​ dosadili dve 9​). Ciferný súčet nášho čísla teda môže byť 9​ a 18​.

  • Ak je ciferný súčet 9​, tak A+B=9-6=3​. Možnosti pre ktoré sa A+B​ rovná tri sú: 0+3​ ; 1+2​ ; 2+1​ ; 3+0​. Máme 4 možnosti.
  • Ak je ciferný súčet 18​, tak A+B=18-6=12. Možnosti pre ktoré sa A+B​ rovná dvanásť sú: 9+3​ ; 8+4​ ; 7+5​ ; 6+6​ ; 7+5​ ; 8+4​ ; 9+3​. Máme 7​ možností.

Čísla zakončené na 5​:

Ak je číslo zakončené na 5​, tak jeho ciferný súčet je 1+A+2+B+3+5 = 11+A+B​. Tento ciferný súčet bude  od 11​ (ak by sme dosadili dve 0​) do 29​ (ak by sme dosadili dve 9​). Ciferný súčet teda môže byť 18 a 27​.

  • Ak je ciferný súčet 18​, tak A+B=18-11=7​. Možnosti pre ktoré sa A+B​ rovná sedem sú: 0+7​ ; 1+6​ ; 2+5​ ; 3+4​ ; 4+3​ ; 5+2​ ; 6+1​ ; 7+0​. Máme 8 možností.
  • Ak je ciferný súčet 27​, tak A+B=27-11=16​. Možnosti pre ktoré sa A+B​ rovná šestnásť sú: 9+7​ ; 8+8​ ; 7+9​. Máme 3​ možnosti.

​Ak si zrátame všetky možnosti (4+7+8+3​), zistíme, že 22  rôznych počtov oviec spĺňa zadané podmienky.