5. príklad - Vzorové riešenie

Ako prvé sa pozrieme na to ako sa nám menia súčty a súčiny jednotlivých cifier po zakódovaní:

Môžeme si všimnúť že súčet sa nám mení iba o +1; -1; -3 a pri nule o 0.
Tiež si môžeme všimnúť že súčin nám vždy zostáva rovnaký alebo sa znižuje, z čoho nám vyplýva že cifry ktorým sa znižuje súčin môžeme použiť iba ak použijeme aj nulu kedže nevieme nijako zvýšiť naspäť ciferný súčet.
Vieme teda rozlíšiť 2 možnosti, číslo obsahuje 0 a číslo neobsahuje 0.

Pozrieme sa najprv na možnosť že číslo obsahuje cifru 0, potom nás ciferný súčin nezaujíma kedže bude vždy 0. Môžeme si všimnúť že nemôžeme použiť cifru, ktorá sa zmení o -3 lebo nevieme dostať +3 iba dvoma ciframi. To znamená že môžeme použiť iba cifry, ktorým sa mení súčet o 0; +1 alebo -1. Teraz si môžeme všimnúť že súčet zvyšných troch z týchto čísel (môžu sa opakovať) sa bude rovnať 0 len ak budeme mať čísla -1; +1 a 0 alebo keď budem mať tri čísla 0. Druhú možnosť nevieme spraviť lebo štvorciferné číslo sa nemôže skladať zo štyroch núl. Takže sa pozrieme na to ako spraviť prvú možnosť:

• 0 viem dostať iba z cifry 0,
• +1 viem dostať iba z cifier 1; 2 a 3,
• -1 viem dostať iba z cifier 4; 5 a 6.

Teraz už len vyrátame počet štvorciferných čísiel ktoré viem vytvoriť z týchto cifier. Vieme že 0 nemôže byť na prvej pozícii takže tam musí byť jedno z čísel +1 a -1. Druhé z týchto čísel môže byť teda na jednej z troch pozícií (môže byť na 2.; 3. alebo 4.). To znamená že máme 3 rôzne zoradenia ak je na začiatku +1 a 3 rôzne zoradenia ak je na začiatku -1. Teraz si môžeme všimnúť že čísla +1 a -1 vyberáme nezávysle od seba a na každé máme 3 možnosti. To znamená že dokopy máme 3 \cdot 3 \cdot 3+3 \cdot 3 \cdot 3=54 možností vytvoriť štvorciferné číslo tak, že obsahuje nulu.

Teraz sa pozrieme na možnosť že číslo neobsahuje nulu. Potom nemôžeme použiť čísla 4; 5; 7 a 8 kedže tie znižujú ciferný súčin, ktorý nevieme nijak zvýšiť. Pozrieme sa teraz na to, akými kombináciami vieme získať rovnaký súčet.
Ak použijeme -3 tak +3 vieme získať iba použitím troch +1. Pozrieme sa na to, koľko takých štvorciferných čísel existuje:

• -3 vieme dostať iba z cifry 9,
• +1 vieme dostať iba z cifier 1; 2 a 3.

Cifra 3 môže byť na štyroch miestach a na zvyšných môžeme mať hociktorú z cifier 1; 2; 3. To znamená že máme 4 \cdot 3 \cdot 3\cdot 3=108 možností vytvoriť štvorciferné číslo obsahujúce cifru 9.

Ak použijeme -1 tak musíme použiť ešte jednu -1 a dve +1 (lebo 0 nemôžeme použiť, to sme zarátali pri možnostiach s nulami). Pozrieme sa teda na to, koľko je takýchto čísel:

• -1 vieme dostať iba z cifrier 4; 5 a 6,
• +1 vieme dostať iba z cifier 1; 2 a 3.

Čísla -1 môžu byť iba číslo 6. Prvú šestku môžeme mať na štyroch pozíciách a druhú na zvyšných troch pričom sa vedia vymeniť takže máme \frac{4 \cdot 3}{2} =6 možností rozmiestnenia čísel 6. Teraz nám zostali dve čísla +1 ktoré môžu byť hociktoré z 1; 2 a 3 takže máme dokopy 6 \cdot 3 \cdot 3=54 možností vytvoriť štvorciferné číslo obsahujúce dve cifry 6.

Ak by sme použili iba čísla +1 tak nevieme dostať súčet 0 a teda nebudeme mať číslo ktoré bude mať rovnaký ciferný súčet.

Dokopy máme teda 54+108+54=216 štvorciferných čísel ktoré majú pred aj po zakódovaní rovnaký ciferný súčet aj súčin.

Odpoveď:
Existuje 216 štvorciferných čísel ktoré majú po zakódovaní rovnaký ciferný súčet aj súčin.

Komentár

1. Treba si veľmi dávať pozor pri dokazovaní. Ak zistíte, že kombinácie skupín čísel \left\lbrace +1; +1; -1; -1\right\rbrace; \left\lbrace +1; -1; 0; 0\right\rbrace a \left\lbrace +3; -1; -1; -1\right\rbrace dávajú riešenia tak je to bomba, no ostáva ešte kopa práce. Treba ukázať, že sú naozaj všetky a to je často zapeklitý problém, ktorý netreba podceniť a určite budete odmenení bodmi.
2. Ďalej ste sa občas vcelku trápili s rátaním kombinácií, keď už ste mali zistené, čo vlastne máte rátať. Určite sa pri riešení dá vypisovať, no často to nie je sranda, hlavne keď sa niekde v strede náhodou zašmodrcháte. Ak ste sa teda už stretli s faktoriálmi, tak vrelo odporúčame sa s nimi skamarátiť. Ak nie tak sa tešte na sústredenie.
3. Nakoniec ste si niektorí povedali, že nemôžeme použiť tie čísla, ktorým sa mení cif. súčin ale neuvedomili ste si, že ak použijeme cifru 0 tak nás ciferný súčin nezaujíma. Iní zase naopak usúdili, že musíme použiť 0, aby sme "napravili" tieto čísla a neuvedomili si že sa dajú vytvoriť aj čísla, v ktorých nepoužijeme 0 a nezmení sa im súčin. To je samozrejme nepríjemnosť, no nabudúce to určite vyjde lepšie.

Bodovanie

Tento príklad sme bodovali nasledovným spôsobom:

• 1 bod ste mohli získať, ak ste si napísali tabuľku alebo inak pozorovali rozdiely súčtov a súčinov.
  
• 3 body ste mohli získať za správne vypočítanie počtu riešení pre čísla obsahujúce cifru 0.
  
• 2 body ste mohli získať za správne vyrátanie počtu riešení pre čísla obsahujúce -3.
  
• Ďaľšie 2 body ste mohli získať za správne vyrátanie počtu riešení pre čísla obsahujúce práve dve -1.
  
• A nakoniec po jednom bode ste mohli získať za ukázanie, že čísla 4; 5; 7 a 8 nemôžeme použiť ak v čísle nie je cifra 0 a za správne dokázanie, že \left\lbrace +1; +1; -1; -1\right\rbrace; \left\lbrace +1; -1; 0; 0\right\rbrace a \left\lbrace +3; -1; -1; -1\right\rbrace sú jediné kombinácie zmien súčtov ktoré vyhovujú zadaniu.