2. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6

Zadanie

Šálka sa najprv otočí na sever a spraví 1 krok dopredu. Potom sa otočí o 90 stupňov doprava, a spraví 2 kroky dopredu. Potom sa zase otočí o 90 stupňov doprava a spraví dopredu 3 kroky. Takto pokračuje, vždy sa otočí o 90 stupňov doprava a spraví o krok viac ako minule. Keď sa Šálka otočil doprava po 80.-krát, hlava sa mu zatočila takým spôsobom, že mu napadol ten správny recept. Bol ale ďaleko mimo televízneho setu. Teraz sa chce vrátiť tam, kde začínal, no chce aj naďalej kráčať len na sever, juh, východ, alebo západ. Koľko najmenej krokov musí spraviť v každom z týchto smerov, aby sa mu to podarilo?

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, MartinŠ

Najjednoduchšiu vec, ktorú môžeme spraviť je začať si kresliť prvé Šálkove kroky. Z náčrtu sa javí, že cesta sa točí do špirály. Postupne obchádza stred zo všetkých štyroch strán, no dĺžky ciest sa stále zväčšujú, takže nie je prekvapivé že vzďaľuje od stredu. Konkrétne sa pozrime na to, kde sa bude nachádzať po každých 4 cestách (Teda po 4., 8. atď.). Po prvých štyroch sa ocitne o 2 kroky na juh a o 2 na západ oproti začiatku, a to isté sa stane aj po ďalších štyroch, z čoho si môžeme tipnúť že to tak pôjde aj ďalej. Ak sa nám to podarí dokázať, ľahko už vypočítame výsledok.

Poďme sa pokúsiť to vyvodiť z toho, čo platí pre každé takéto 4 cesty (začínajúce a končiace otočením na sever). To koľko krokov ktoré urobí Šálka na sever si označíme x. Šálka sa potom otočí na východ a posunie sa o jeden krok viac, teda urobí x+1 krokov. Pokračuje na juh a to x+2 krokmi a na západ x+3 krokmi.Šálka sa hýbe na navzájom opačné dvojice sever, juh a východ, západ. Zároveň keď sa hýbe niektorým z týchto smerov, neovplyvní tým, kde sa nachádza vzhľadom na smery z druhej dvojice. Keďže urobí x krokov na sever a x+2 krokov na juh, tak sa posunie o x-(x+2) krokov na sever, teda o -2 kroky (takže sa celkovo posunie o 2 na juh). Rovnako vypočítame posun na východ o x+1 mínus posun na západ o x+3 krokov, takže (x+1)-(x+3) = -2, takže sa posunie o 2 kroky na západ.

Prišli sme teda na to, že po každých štyroch cestách bude o 2 kroky viac južne a 2 kroky viac západne. V dokopy 80 cestách sa táto postupnosť 4 ciest zopakuje presne 80:4 = 20-krát. Dokopy sa teda posunie o 40 krokov na juh a rovnako o 40 krokov na západ. Z tohto miesta, kde skončil sa musí vrátiť naspäť rovnako veľa krokmi opačným smerom.

Odpoveď: Šálka teda musí urobiť 40 krokov na sever a 40 na východ.

Komentár

Skoro všetkým riešiteľom sa podarilo pomocou tipu na základe obrázka dostať ku správnemu výsledku. Viacerí z vás však nedokázali, že pravidlo o posunutí o 2 a 2 kroky bude s istotou platiť. To bol však veľmi dôležitý krok, bez ktorého zdôvodnenie riešenia nie je dostatočné, čo sa ukázalo aj na bodovaní príkladu. Za načrtnutie špirály a výpočet vedúci k výsledku sme udeľovali najviac 4 body, a zvyšné body sme udeľovali práve za overenie spomínaného pravidla.