9. príklad - Vzorové riešenie

Riešenie bez obvodových uhlov

Začnime pozorovaním, že uhly \measuredangle ADB a \measuredangle DBC sú striedavé uhly, nakoľko sú AD a BC rovnobežky. Tieto dva uhly sú teda rovnako veľké a teda oba pravé. Potom platí, že kružnica opísaná trojuholníku BCD je Tálesova kružnica a jej stred (označíme S) bude ležať v strede prepony - úsečky CD.

Pri pohľade na obrázok si môžeme všimnúť, že trojuholník CDE vyzerá ako preklopený trojuholník DCB. Toto zdanie dokážeme. Vezmime si os úsečky CD a osovo súmerne cez ňu zobrazíme trojuholník DCB aj s jeho opísanou kružnicou. Táto os prechádza stredom CD, takže body C,\, D zobrazí navzájom jeden na druhý. Zároveň, keďže S leží na tejto priamke, kružnica sa zobrazí sama na seba. Zostáva nám ešte bod B. Jeho obraz bude ležať na priamke kolmej na našu os, v rovnakej vzdialenosti od osi ako bod B. Priamka AB je rovnobežná s CD a keďže tá je kolmá na našu os, bude aj AB. Miesto vzdialenosti využijeme opísanú kružnicu. Na nej leží bod B, takže jeho obraz bude ležať na preklopenej kružnici. To je ale tá istá kružnica. Obraz bodu B leží na priamke AB a kružnici opísanej DCB, takže to bude bod E.

Pozrime sa, čo nám to pomohlo. Trojuholníky DCB a CDE sú zhodné. Úsečky BC a DE sú teda rovnako dlhé. Navyše, ABCD je rovnobežník, čiže aj strany AD a BC majú rovnakú dĺžku. To však znamená, že trojuholník ADE je rovnoramenný. Pozrime sa na jeho uhly.

V rovnobežníku sú susedné uhly dokopy 180°, takže |\measuredangle EAD| = 180° - |\measuredangle ABC| = 180° - 115° = 65°. Keďže trojuholník ADE je rovnoramenný, aj |\measuredangle AED| = 65°. Tretí uhol dopočítame do 180°, vyjde 50° a máme výsledok.

Odpoveď: Uhol \measuredangle ADE má veľkosť 50°.

Iné riešenie bez obvodových uhlov

Začneme rovnako ako v prvom riešení. Uhly \measuredangle ADB a \measuredangle DBC sú striedavé, takže sú oba rovnaké. Trojuholník DCB je pravouhlý, takže podľa Tálesovej vety bude stred jeho opísanej kružnice ležať v strede strany CD. Tentokrát sa pozrime na úsečky spájajúce body B,\, C,\, D,\, E so stredom opísanej kružnice, bodom S.

Všetky ich dĺžky sú rovnako veľké, keďže sa jedná o polomer našej kružnice. Uvedomme si, že susedné uhly v rovnobežníku majú súčet veľkostí 180°. Takže |\measuredangle SCB| = 180° - 115° = 65°. Trojuholník BCS je rovnoramenný, takže aj |\measuredangle SBC| = 65°. Zvyšný uhol ich musí doplniť do 180°, takže |\measuredangle BSC| = 180° - 2 \cdot 65° = 50°.

Všimnime si, že teraz vieme dorátať uhly aj v susednom trojuholníku. Uhly \measuredangle SBC a \measuredangle SBE dávajú dokopy \measuredangle EBC, takže |\measuredangle SBE| = 115° - 65° = 50°. Uhol \measuredangle SEB bude rovnaký, keďže máme rovnoramenný trojuholník. Opäť dopočítame |\measuredangle BSE| = 180° - 2 \cdot 50° = 80°.

Prejdeme teraz k tretiemu rovnoramennému trojuholníku. Uhly \measuredangle DSE,\, \measuredangle BSE a \measuredangle BSC dávajú dokopy priamy uhol. Ich súčet teda bude 180°. Takže |\measuredangle DSE| = 180° - 50° - 80° = 50°. Zvyšné dva uhly musia byť rovnaké a vyjdú (180° - 50°) : 2 = 65°.

Na záver nám stačí uvedomiť si, že uhol \measuredangle SDE tvorí s uhlom \measuredangle ADE, ktorý nás zaujíma, uhol \measuredangle ADC. V rovnobežníku sú protiľahlé uhly rovnako veľké, takže dopočítame |\measuredangle ADE| = 115° - 65° = 50°.

Odpoveď: Uhol \measuredangle ADE má veľkosť 50°.

Riešenie s obvodovými uhlami

Na záver si ukážeme riešenie využívajúce trošku ťažšiu matematiku, konkrétne takzvané obvodové uhly. Ak máme na kružnici vyznačenú úsečku, tak platí, že nech si zvolíme ľubovoľný bod na jednom kružnicovom oblúku, tak po jeho spojení s bodmi úsečky dostaneme vždy ten istý uhol. Môžeme si všimnúť, že ak si ako našu úsečku zvolíme priemer kružnice, dostaneme Tálesovu vetu. Jediný rozdiel by bol v tom, že pri obvodových uhloch závisí na tom, na ktorej strane úsečky tretí bod zvolíme.

Prejdime teda k samotnému riešeniu. Podobne ako aj v zvyšných riešeniach začneme uhlami \measuredangle ADB a \measuredangle DBC. Tie sú striedavé a teda rovnako veľké. Platí teda |\measuredangle DCB| = 90°.

Pozrime sa teraz na úsečku DC (zelenú). Uhly \measuredangle DBC a \measuredangle DEC sú na tej istej strane kružnice, takže sú obvodové a rovnako veľké. Platí teda |\measuredangle DEC| = 90°.

Teraz musíme trochu zapremýšľať. Vieme dorátať uhly \measuredangle BAD a \measuredangle BCD. Keďže v rovnobežníku majú susedné uhly súčet 180°, budú oba 180° - |\measuredangle ABC| = 180° - 115° = 65°. V trojuholníku DCB tak vieme dorátať aj zvyšný uhol |\measuredangle BDC| = 180° - 90° - 65° = 25°. Ajhľa, opäť sme na obvode kružnice. Úsečke BC (modrá) prislúchajú obvodové uhly \measuredangle BDC aj \measuredangle BEC. Majú teda rovnakú veľkosť a |\measuredangle BEC| = 25°.

Teraz sme už blízko. Uhly \measuredangle AED,\, \measuredangle CED,\, \measuredangle BEC dávajú dokopy 180°. Dva z nich poznáme, dorátame |\measuredangle AED| = 180° - 90° - 25° = 65°. V trojuholníku ADE nám tak zostáva dopočítať |\measuredangle ADE| = 180° - 65° - 65° = 50°.

Odpoveď: Uhol \measuredangle ADE má veľkosť 50°.

Komentár

Napriek tomu, že Vašich riešení nebolo až tak veľa, postupy boli skutočne rôznorodé. Najpopulárnejší bol pravdepodobne postup podobný prvému vzorovému riešeniu. Tu sa tiež objavili najčastejšie chyby. Viacerí z Vás podcenili dôkaz faktu, že trojuholníky CDE a DCB sú naozaj osovo súmerné. Aj keď to na obrázku môže vyzerať jednoznačne, ten môže ľahko klamať. Vo všeobecnosti, ak máte pocit, že sú dva trojuholníky zhodné, je fajn zdôvodniť to poriadne.