7. príklad - Vzorové riešenie

Najprv si dokážeme, že trojuholník AED a trojuholník BGC sú pravouhlé a rovnoramenné.

Uhol AED je vrcholový s uhlom HEF a uhol BGC je vrcholový s uhlom FGH, a teda sú oba pravouhlé. Označme si dĺžku strany štvorca b. Zo zadania vieme, že trojuholník DFC je rovnoramenný s dĺžkami ramien a+b, a aj trojuholník AHB je rovnoramenný s dĺžkami ramien a+b, teda platí, že |AE|=|DE|=|BG|=|CG|=|AH|-b označme si túto dĺžku a. Z toho vyplýva, že trojuholníky BGC a AED sú rovnoramenné.

Zo zadania vieme, že obsah zeleného trojuholníka AED je 50-krát väčší ako obsah oranžového štvorca FGHE. Ak by sme si zobrali štvorec AEDI, tak vieme, že je dvakrát väčší ako trojuholník AED a teda vieme povedať, že obsah štvorca AEDI je 100-krát väčší ako obsah štvorca FGHE.

Teraz si vyjadríme obsahy týchto štvorcov pomocou strán a a b.

S_{AEDI}=a^2=100\cdot S_{FGHE}=100\cdot b^2
a^2=100\cdot b^2
a=10 \cdot b

Mohli sme odmocniť, pretože obe dĺžky sú kladné čísla.

Strany AH a HB sú odvesnami rovnoramenného pravouhlého trojuholníka ABH a teda platí, že S_{AHB}=|AH|\cdot |HB|/2 . Dĺžky strán AH a BH si vieme taktiež napísať ako a+b .
Keďže vieme, že a = 10 \cdot b , tak dĺžky týchto strán sa budú rovnať 11\cdot b .

S_{AHB}=11\cdot b\cdot 11\cdot b/2
S_{AHB}=60{,}5b^2

Teraz si vieme vyjadriť obsah celého obdĺžnika pomocou dĺžky strany b:

2 \cdot S_{AED}+2\cdot S_{AHB}-S_{FGHE} = 990~\text{cm}^2 \\ 2\cdot 50\cdot b^2+2\cdot 60{,}5\cdot b^2-b^2 = 990~\text{cm}^2 \\ 221\cdot b^2-b^2 = 990~\text{cm}^2 \\ 220\cdot b^2 = 990~\text{cm}^2 \\ b^2 = 4{,}5~\text{cm}^2

Obsah bielej časti je teda:

990~\text{cm}^2 - S_{AED} - S_{FGHE}
990~\text{cm}^2 - 50b^2- b^2
990~\text{cm}^2 - 50\cdot4{,}5~\text{cm}^2 - 4{,}5~\text{cm}^2 = 760{,}5~\text{cm}^2

Odpoveď: Obsah bielej časti je 760{,}5~\text{cm}^2 .