9. príklad - Vzorové riešenie

Ak na začiatku skúšame nájsť nejaké vyhovujúce kombinácie kartičiek, zišiel by sa nám nejaký postup, pomocou ktorého jednoducho zistíme, či je dané číslo deliteľné jedenástimi. Jedno, asi najjednoduchšie, a v tomto prípade určite najpraktickejšie pravidlo znie takto:

Číslo je deliteľné jedenástimi práve vtedy, keď je deliteľný jedenástimi rozdiel súčtu cifier na párnych pozíciách P a súčtu cifier na nepárnych pozíciách N. Teda napríklad, pre číslo 9341111144111111112 platí:

N=9+4+1+1+4+1+1+1+1+2=25

P=3+1+1+4+1+1+1+1+1=14

Rozdiel týchto súčtov je N-P=25-14=11, čo je násobok 11. Z toho vyplýva že aj toto 19-ciferné číslo je násobok 11. Toľko k deliteľnosti, teraz toto pravidlo skúsime využiť v náš prospech.

Ľahko vieme ukázať, že kartičky použité na takéto číslo nebudú (až na špeciálne prípady) spĺňať druhú podmienku zo zadania. Keď totiž vymeníme napríklad prvú a tretiu cifru, dostaneme nové číslo, no súčty P a N sa nezmenia, iba sa v druhom z nich zmení poradie ščítancov. To nevadí, keďže ščítavanie je komutatívne, a teda pri ňom nezáleží práve na poradí sčítancov. Môžeme teda v oboch súčtoch, párnych aj nepárnych cifer, tieto cifry ľubovoľne povymieňať.

Aby sme splnili zadanie, číslo sa ani po žiadnej výmene cifier nemôže zmeniť. Inak povedané, všetky cifry ktoré vieme vymeniť musia byť rovnaké. Jediné čísla, ktoré teda môžu teoreticky spĺňať zadanie sa skladajú iba z dvoch striedajúcich sa cifier : 10 cifier A na nepárnych pozíciách a 9 cifier B na párnych. Ich súčty teda budú N=10\cdot A a P=9\cdot B, kde pre A aj B máme možnosti od 1 po 9. To nie je až tak veľa, preto si môžeme spraviť tabuľku, kde v prvom riadku budú všetky možné hodnoty N=10\cdot A, v prvom stĺpci možnosti pre P=9\cdot B, a v každom vnútornom políčku tabuľky bude ich rozdiel:

Zvýraznené sú násobky 11, ktoré môžu byť aj záporné. Samozrejme dá sa to povedať aj matematickejšie než tabuľkou.

Nech N-P=10\cdot A-9\cdot B=11\cdot A-A-11\cdot B+2\cdot B je deliteľný jedenástimi. Z toho vyplýva, že 2\cdot B-A musí byť tiež deliteľné 11. Keďže A aj B sú kladné celé jednociferné čísla rozdiel 2\cdot B-A môže nadobúdať iba hodnoty od -7 po 17. Z nich sú deliteľné jedenástimi iba 0 a 11. Teda buď 2\cdot B-A=0 alebo 2\cdot B-A=11. To nám dá rovnaké riešenia ako máme zvýraznené v tabuľke. Sú to:

Tieto riešenia spĺňajú nami vytvorené kritéria, ktorými sme si možnosti zúžili. To ale ešte nijak nezaručuje, že sa cifry nebudú dať preusporiadať aj inak ako len na miestach rovnakej parity, tak že sa deliteľnosť 11 zachová. Opäť vďaka komutativite sčítavania je jedno, ktoré párne číslo s ktorým nepárnym vymeníme, a teda by stačilo si napríklad vytvoriť podobnú tabuľku ako vyššie pre každé získané riešenie, a počet výmen od 1 po 9. No s trochou znalostí to pôjde aj jednoduchšie. Keď totiž vymeníme dve cifry medzi našimi súčtami, rozdiel týchto dvoch súčtov sa zmení o najviac 8 (v prípade že A=9 a B=1 alebo naopak), a takúto výmenu vieme urobiť 9-krát. Dokopy sa teda rozdiel zmení o súčin dvoch jednociferných čísel, z čoho nikdy nevznikne násobok 11, pretože 11 je prvočíslo, teda neviem vzniknúť násobením menších čísel.

Tým sme teda ukázali, že po poprehadzovaní kartičiek sa rozdiel v pravidle deliteľnosti zmení o číslo ktoré nie je násobkom 11, a teda výsledné číslo nebude deliteľné jedenástimi. Preto budú riešeniami práve všetky nami nájdené kombinácie kartičiek (viď druhá tabuľka).