8. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Šálka do ktorej ide Šálka variť polievku má tvar lichobežníka ABCD, kde AB \parallel CD a |CD| < |AB|. Šálka však má aj rúčku: priesečník uhlopriečok lichobežníka označme P a vytvorme P’ - jeho obraz v osovej súmernosti podľa priamky AD. Keďže toto je kvalitná šálka, platí, že priamka AP' je rovnobežná s BC. Určte uhol, ktorý zvierajú priamky AD a BC ak vieme, že uhol ACB má 74 stupňov.

Vzorové riešenie

Opravovali: Prutky, adam, mišo

Označme si priesečník priamok AD a BC ako X. Uhol, ktorý nás zaujíma je teda \measuredangle AXB. Ľahko si všimneme, že uhol \measuredangle ACX susedí so zadaným uhlom \measuredangle ACB. Jeho veľkosť tak bude 180 \degree - 74 \degree = 106 \degree. Stačí nám teraz už len dorátať zvyšný uhol trojuholníka ACX (\measuredangle CAX) a budeme vedieť dopočítať ten, ktorý hľadáme.

Posledné, čo sme zo zadania nepoužili je bod P'. Vieme, že vznikol osovou súmernosťou bodu P podľa priamky AD. Platí preto, že uhly \measuredangle DAP' a \measuredangle DAP sú rovnako veľké. Vieme tiež, že priamka AP' je rovnobežná s priamkou BC. To už nám dáva všetko, čo potrebujeme. Uhly \measuredangle ACB a \measuredangle P'AC sú striedavé, takže majú rovnakú veľkosť. Uhol \measuredangle CAX je polovicou uhla \measuredangle P'AC, takže jeho veľkosť je 74 \degree : 2 = 37 \degree. Takže |\measuredangle AXC| = 180 \degree - 106 \degree - 37 \degree = 37 \degree.

Odpoveď: Priamky AD a BC zvierajú uhol 37 \degree.