5. príklad - Vzorové riešenie

Štyri misky si označíme A, B, C, D. Rozdielne trojice misiek vieme dať ochutnať len štyrmi spôsobmi a to:

• A, B, C,
• A, B, D,
• A, C, D,
• B, C, D.

Ak by sme dali ochutnať niektorú trojicu znova, tak by nám mohol človek povedať vždy rovnakú odpoveď a teda potrebujeme zistiť, či vieme zistiť ktorá miska je aká, len pri týchto štyroch trojiciach misiek (ak by sa to nedalo, tak vieme, že sa to nebude dať ani pre konečný počet ochutnaní).

Všetkých možností na to, či je každá miska zo štyroch vydarená alebo pokazená je veľa (2\cdot2\cdot2\cdot2=16 možností). Keď k tomu ešte započítame, že sa mohol pri každom ochutnaní rozhodnúť klamať o rozličnej z 3 misiek, čo je za 4 kolá 81 kombinácií (3\cdot3\cdot3\cdot3=81), tak si rýchlo môžeme rozmyslieť, že sa ich nedá všetky vyskúšať.

Ako si teda vieme uľahčiť prácu? Najprv si vieme uvedomiť, že nás vlastne nezaujíma ktorá polievka je vydarená a ktorá pokazená. Zisťovať, či klame alebo hovorí pravdu vieme iba z toho, že niekedy zmenil svoju výpoveď. Takže pre každé klamanie nám to stačí overiť na konkrétnom príklade. Ďalej je nám jedno či sa raz zmenila informácia pri miske A, alebo D. Jednoducho misky vieme inak premenovať a dostaneme ten istý prípad. Takže nás zaujímajú počty klamaní a poradie v akom klamal, no stačí nám to vyriešiť iba pre jednu možnosť A, B, C, D. Nakoniec tiež je jedno poradie v ktorom misky ochutnávame, či najprv trojicu A, B, C a neskôr trojicu B, C, D alebo naopak. Vďaka tomu nám stačí vyriešiť iba 4 prípady, ktoré sú dané počtom zmien informácie, ktorý nám dá počet klamaní pri jednotlivých miskách.

Rozdelíme si koľkokrát mohol klamať o jednotlivých miskách:

1. klamal raz o všetkých štyroch (1, 1, 1, 1) - vidíme 4 zmeny tvrdenia,
2. klamal dvakrát o jednej, raz o dvoch a o poslednej neklamal (2, 1, 1, 0) - vidíme 3 zmeny,
3. klamal dvakrát o dvoch miskách a o ostatných neklamal (2, 2, 0, 0) - vidíme 2 zmeny,
4. klamal trikrát o jednej miske, raz o ďalšej a o ostatných neklamal (3, 1, 0, 0) - vidíme 1 zmenu.

Teraz si prejdeme všetky možnosti ako nám mohol klamať:

1. Klamal raz o všetkých štyroch

Pri všetkých štyroch polievkach budeme mať 2 rovnaké tvrdenia a práve jedno iné a teda budeme vedieť zistiť ktorá miska je aká. Klamať bude v tých ochutnaniach, ktoré sú iné.

(Červenou sú označené klamlivé tvrdenia.)

2. Klamal dvakrát o jednej, raz o dvoch a o poslednej neklamal

Pri polievke, o ktorej neklamal, budeme mať tri rovnaké tvrdenia a teda ju vieme určiť. Teraz potrebujeme zistiť, pri ktorej miske budú 2 rovnaké tvrdenia klamstvá. Pozrime sa na misku C. Pri tej nám aj pri prvom, aj pri treťom ochutnaní dal rovnakú informáciu. Takže buď 2-krát klamal, alebo 2-krát hovoril pravdu. 2-krát klamať však nemohol, lebo pri prvom a treťom ochutnaní misky A sme dostali rozličné tvrdenie. Takže pri prvom alebo treťom ochutnaní klamal o miske A a teda nemohol klamať o miske C.

O miske C potom musel klamať pri štvrtom ochutnaní a vďaka tomu vidíme, že o B pri štvrtom ochutnaní neklamal, B bude pokazená.

Už si ľahko všimneme, že o miske B klamal v prvom kole, lebo tam o nej tvrdil, že je vydarená a zistíme aká bola miska A.

(Červenou sú označené klamlivé tvrdenia.)

3. Klamal dvakrát o dvoch miskách a o ostatných neklamal

Pri dvoch miskách, o ktorých povedal 3-krát rovnaké tvrdenie, vieme, že sú všetky pravdivé. Nemôže sa stať, že by o jednej z nich hovoril vždy klamstvo, pretože o dvoch povedal dvakrát rovnaké tvrdenie a raz iné a teda by sme mali minimálne 5 klamstiev. Pri dvoch miskách, pri ktorých budeme mať 2 rovnaké tvrdenia a 1 iné, vieme, že nepravdivé tvrdenia musia byť práve tie, ktoré sú 2 rovnaké, aby nám platil počet klamstiev.

(Červenou sú označené klamlivé tvrdenia.)

4. Klamal trikrát o jednej miske, raz o ďalšej a o ostatných neklamal

Vidíme, že máme pri troch miskách 3 rovnaké tvrdenia a pri jednej miske máme 2 rovnaké a jedno iné tvrdenie. Jediným spôsobom ako vieme dostať 4 klamstvá je, že bude klamať pri tvrdení, ktoré je iné oproti ostatným. Potom vieme, že pri ostatných miskách, ktoré vtedy ochutnal musel hovoriť pravdu. V našom prípade teda musel klamať o miske B v 4. ochutnaní a vďaka tomu vieme, že o miskách C a D hovoril pravdu. Mohol jedine klamať o miske A.

(Červenou sú označené klamlivé tvrdenia.)