3. príklad - Vzorové riešenie

• nenakrájaná zelenina - N,
• zelenina nakrájaná na kolieska - K,
• zelenina nakrájaná na pásiky - P,

Najprv sa pokúsime zistiť, aké počty zelenín mal Ján pred chvíľou. Zapíšeme si podmienky zo zadania do rovníc:

N = K
7 \cdot N = P
N + K + P = 900

Za K si v poslednej rovnici teda môžeme dosadiť N a za P si môžeme dosadiť 7 \cdot N. Rovno túto rovnicu aj ďalej upravíme:

N + N + 7 \cdot N = 900
9 \cdot N = 900 ~~~~~~~~/{:}9
N = 100

Zistili sme teda, že nenakrájanej zeleniny bolo predtým 100 kusov, a podľa zvyšných dvoch rovníc vieme, že zeleniny nakrájanej na kolieska bolo tiež 100 a zeleniny nakrájanej na pásiky bolo 7 \cdot 100 = 700.

Teraz však Ján mohol hodiť časť nakrájanej zeleniny do hrnca alebo nakrájať časť nenakrájanej zeleniny na pásiky alebo kolieska, tak aby platili nové, iné podmienky pre N, K, P:

N = P
7 \cdot N = K

Keďže chceme zistiť, koľko najviac zeleniny mohlo mimo hrnca byť, zistíme, koľko najviac môže byť nenakrájanej zeleniny. Vidíme, že ostatné typy zeleniny vieme z jej počtu dopočítať. Dokonca platí, čím viac bude nenakrájanej zeleniny, tým viac bude aj zvyšných typov, a aj zostávajúcej zeleniny dokopy. Keby Ján iba krájal nenakrájanú zeleninu na kolieska, tak súčet počtov týchto dvoch typov ostane nezmenený, teda 100+100=200. To bude aj najvyšší možný súčet, pretože Ján nijak nevie pridať viac kusov zeleniny. Potom by platilo:

7 \cdot N = K a N + K = 200
N + 7 \cdot N = 200
8 \cdot N = 200
N = 25, K = 7 \cdot N = 7 \cdot 25 = 175

Keď si za K dosadíme 7 \cdot N a upravíme si rovnicu, dopracujeme sa k možnému počtu nenakrájanej zeleniny. Tento počet je najvyšší možný, pretože ak by sme mali viac nenakrájanej zeleniny, museli by sme mať, podľa zadania, viac aj tej na kolieska. Potom by sa však zvýšil aj súčet týchto dvoch typov, no ten sme už mali najvyšší možný.

Keďže pôvodne bolo zeleniny na pásiky 700, N = 25, a musí platiť N = P, tak Ján musí zahodiť 700 - 25 = 675 pásikov do hrnca. Takže mimo hrnca ostane N + K + P = 25 + 25 + 175 = 225 kusov zeleniny.

Odpoveď: Mimo hrnca môže byť najviac 225 kusov zeleniny.

Komentár

Väčšina riešiteľov, ktorí si vyjadrili v rovniciach počty zelenín už úspešne dospeli k správnemu riešeniu. Zopár riešiteľov dospelo aj k alternatívnemu riešeniu, kedy Ján nakrájal jednu nenakrájanú zeleninu na 593 koliesok. Vzhľadom na to, že sme zabudli v zadaní poriadne objasniť, že takéto niečo nemalo byť možné, rozhodli sme sa pri takomto postupe udeľovať body rovnako.