9. príklad - Vzorové riešenie

Označme S priesečník uhlopriečok nášho štvorca a X,\, Y postupne priesečníky AD s CM a BC s DM. Označíme ešte a stranu veľkého štvorca. Platí a^2 = 420.

Keďže M je stred strany AB a S je stred štvorca, celý štvorec je podľa priamky MS osovo symetrický. Na výpočet obsahu MXSY nám stačí zistiť obsah MXS. Ten bude polovicou nami hľadaného obsahu. Vieme tiež, že |MS| = \frac{a}{2}. Na zistenie obsahu tak budeme chcieť zistiť niečo o výške tohto trojuholníka.

Ďalším výhodným pozorovaním je rovnobežnosť AC a MS. Uhly \measuredangle CMS a \measuredangle ACM sú striedavé a teda rovnako veľké. To isté vieme povedať aj o dvojici CAS a ASM. Takže trojuholníky CXA a MXS sú podobné podľa vety uu.

Vďaka podobnosti trojuholníkov vieme niečo povedať o pomeroch dĺžok v nich. Keďže platí |CA| : |MS| = 2 : 1, budú všety dĺžky v CXA dvojnásobné oproti MXS. Označme v výšku na stranu MS v trojuholníku MXS. Výška na CA v CXA teda bude 2v. Keďže sú CA a MS rovnobežné, ich vzdialenosť bude súčtom týchto výšok, a teda 3v. My však vieme ich vzdialenosť vyjadriť aj ako |AM| = |AB| : 2 = a : 2. Platí teda

\begin{aligned} 3v &= \dfrac{a}{2},\\ v &= \dfrac{a}{6}. \end{aligned}

Dosadením výšky a strany do vzorca pre výpočet trojuholníka dostaneme, že obsah MXS je \frac{a^2}{24}. Takže obsah modrej časti je \frac{a^2}{12} = 420:12 = 35.

Odpoveď: Obsah modrej časti je 35.

Komentár

S príkladom ste si poradili veľmi pekne. Dostali sme mnoho rôznorodých a po väčšine správnych riešení. Ak niečo chýbalo, boli to najmä vysvetlenia jednotlivých krokov.