8. príklad - Vzorové riešenie

Keď máme 1989 pohárov tak sa to dá. Urobíme to tak, že najprv poháre rozdelíme na niekoľko rovnakých skupín, napríklad 3 skupiny po 663 pohárov. Na každú z týchto skupín použijeme zaklínadlo, po ktorom budú mať všetky poháre v jednej skupine rovnaké množstvo. Potom nám stačí postupne brať trojice pohárov, z každej skupiny jeden, a na ne používať zaklínadlo. Priemer každej trojice bude rovnaký, pretože poháre v nej budú mať rovnaké tri množstvá. Tým dosiahneme, že na konci budú mať všetky poháre rovnaké množstvo.

Pomerne ľahko sa dá vidieť, že takýto postup by fungoval pre ľubovoľný počet, ktorý je zložené číslo. Pri prvočíslných počtoch máme problém, že poháre vieme rozdeliť buď iba na jednu skupinu alebo skupiny po jednom pohári. Ak máme iba jednu skupinu so všetkými pohármi, podľa zadania na ňu nemôžeme použiť zaklínadlo a ak máme skupiny po jednom pohári, nemôžeme zas zobrať pohár z každej skupiny.

Keď máme poháre 3, tento postup nám nepomôže, lebo 3 je prvočíslo. V tomto prípade ukážeme, že sa to nedá. Zadanie nám dovoľuje používať zaklínadlo iba na 1 alebo 2 poháre, pričom možnosť 1 môžeme ignorovať, lebo nerobí nič.

Keď prvýkrát použijeme zaklínadlo, buď už rovno dosiahneme, že všetky poháre budú mať rovnaké množstvo, alebo iba 2 na ktoré sme to použili budú mať rovnaké a ten ďalší bude mať iné. Predpokladajme teraz, že je to tá druhá možnosť. Množstvá v dvoch rovnakých pohároch si označíme a a v to treťom b.

V ďalšom kroku musíme znova použiť zaklínadlo na nejaké dva poháre. Na tie čo už sú rovnaké to nemá zmysel, teda musíme zobrať jeden s množstvom a a jeden s množstvom b. Po tomto zaklínadle sa množstvá v pohároch zmenia na a, (a+b):2, (a+b):2. Ľahko vieme ukázať, že a\neq (a+b):2. Ak by sa rovnali, jednoduchou úpravou výrazu, dosiahneme spor:

\begin{array}{cc} a=(a+b)/2 &/& \cdot \ 2 \\ 2a=a+b &/& -a \\ a=b \end{array}

Znova sme teda v stave, že máme 2 rovnaké poháre a jeden iný. To isté sa stane po každom ďalšom kroku. Nikdy teda nedosiahneme, že všetky budú rovnaké.

Teda jediný spôsob ako by sme vedeli dosiahnuť, že sú všetky rovnaké, je hneď v prvom kroku. Stačí nám ale nájsť ľubovoľný jeden prípad kedy sa to nepodarí a to je napríklad ak začiatočné množstvá sú 1, 1, 2.

Odpoveď: 1989 sa dá, 3 nie.