2. príklad - Vzorové riešenie

Najskôr si jednotlivé časti koberca pomenujeme písmenami od A po H a pre prehľadnosť si tiež určíme poradie riadkov a stĺpcov.

Vďaka tomuto označeniu si môžeme prvé dva stĺpce a riadky prepísať do rovníc. Pre súčiny 16, 90, 20 a 84 spravíme prvočíselný rozklad. Vzhľadom na to, že môžeme na koberec vpisovať len prirodzené čísla od 1 do 8, tak prvočíselný rozklad týchto čísel musí obsahovať prvočísla z prvočíselného rozkladu výsledného súčinu. Čísla 1, 2, 3, 5 a 7 sú zároveň aj svojím prvočíselným rozkladom, zatiaľčo 4, 6 a 8 je nutné ešte nasledovne rozložiť 4 = 2 \cdot 2, 6 = 2 \cdot 3 a 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2. Pre každý riadok a stĺpec vieme takto určiť ktoré čísla od 1 do 8 sa v ňom môžu nachádzať.

\begin{aligned} (1. ~riadok) \quad A \cdot B \cdot C = 16 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \implies 1, 2, 4, 8 \\ (2. ~riadok) \quad D \cdot E \cdot F = 90 &= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \implies 1, 2, 3, 5, 6 \\ ------------&------------\\ (1. ~stĺpec) \quad A \cdot D \cdot G = 20 &= 2 \cdot 2 \cdot 5 \implies 1, 2, 4, 5 \\ (2. ~stĺpec) \quad B \cdot E \cdot H = 84 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \implies 1, 2, 3, 4, 6, 7 \\ \end{aligned}

Zo zadania zároveň vyplýva, že nielenže sme limitovaní na prirodzené čísla 1 až 8, ale my dokonca musíme každé z nich práve raz niekam umiestniť, takže sa bude musieť nachádzať vždy aspoň v jednej z našich rovníc. Čísla 7 a 8 sú vypísané každé len u jednej z rovníc, takže si môžeme byť istí že sa práve v nej použijú. Prvočísla 5 a 7 sú tak veľké že ich akékoľvek násobky sú už väčšie než 8 a teda pokiaľ sa nachádzajú v prvočíselnom rozklade výsledného súčinu, tak sa na ňom musia nutne podielať tak ako sú a nie ako súčasť nejakého väčšieho zloženého čísla.

\begin{aligned} (1. ~riadok) \quad A \cdot B \cdot C &= 16 \implies \textbf{8}, (1, 2, 4) \\ (2. ~riadok) \quad D \cdot E \cdot F &= 90 \implies \textbf{5}, (1, 2, 3, 6) \\ ----------&----------\\ (1. ~stĺpec) \quad A \cdot D \cdot G &= 20 \implies \textbf{5}, (1, 2, 4) \\ (2. ~stĺpec) \quad B \cdot E \cdot H &= 84 \implies \textbf{7}, (1, 2, 3, 4, 6) \\ \end{aligned}

Pozrime sa teraz na prvý riadok, ak chceme dostať súčinom troch činiteľov súčin 16 a vieme že jedným z činiteľov je 8, tak nám neostáva iná možnosť než použiť čísla 1 a 2, lebo akékoľvek iná kombinácia dvoch rôznych prirodzených čísel by dala väčší výsledný súčin s čislom 8 než je 16. Pokiaľ použijeme tieto tri čísla (1, 2, 8) pre prvý riadok, tak druhý riadok môže použiť už len čísla 3 a 6 na doplnenie trojice s číslom 5, pretože na koberci riadky nezdieľajú žiadne políčka. K týmto trojiciam sme dospeli vyraďovacou metódou a nie výpočtom, musíme preto ešte overiť, že tieto trojice skutočne dávajú správne súčiny, pokiaľ by to tak nebolo, tak úloha by nemala žiadne riešenie.

\begin{aligned} (1. ~riadok) \quad A \cdot B \cdot C &= 16 = 1 \cdot 2 \cdot 8 \\ (2. ~riadok) \quad D \cdot E \cdot F &= 90 = 3 \cdot 5 \cdot 6 \\ \end{aligned}

Skúška správnosti sedí a tak sa môžeme posunúť na stĺpce. V prvom stĺpci musíme použiť číslo 5 a získať pomocou neho a ďalších dvoch čísel súčin 20. Možní kandidáti sú 1, 2 a 4. Všetky kombinatorické možnosti pre výber dvoch čísel z týchto troch možností sú nasledovné:

\begin{aligned} 1 \cdot 2 = 2 \implies &1 \cdot 2 \cdot \textbf{5} = 10\\ 2 \cdot 4 = 8 \implies &2 \cdot 4 \cdot \textbf{5} = 40\\ 1 \cdot 4 = 4 \implies &1 \cdot 4 \cdot \textbf{5} = \underline{\textbf{20}}\\ \end{aligned}

Opäť je teda práve jedna možná trojica čísel, ktorou vieme docieliť požadovaný súčin a konkrétne sú to čísla 1, 4 a 5. Podobne ako predtým si tieto čísla musíme škrtnúť z kandidátov pre čísla druhého stĺpca, pretože s prvým stĺpcom nezdieľa žiadne políčka. Takto nám pre druhý stĺpec ostanú len čísla 2, 3, 6 a číslo 7, u ktorého sme už predtým dokázali že sa v tomto stĺpci musí určite nachádzať. Vypíšeme si teda všetky možné kombinácie aj pre tento stĺpec:

\begin{aligned} 2 \cdot 3 = 6 \implies &2 \cdot 3 \cdot \textbf{7} = 42\\ 3 \cdot 6 = 18 \implies &3 \cdot 6 \cdot \textbf{7} = 126\\ 2 \cdot 6 = 12 \implies &2 \cdot 6 \cdot \textbf{7} = \underline{\textbf{84}}\\ \end{aligned}

Máme práve jednu trojicu pre ktorú výchádza správny súčin (2, 6, 7) a v tomto prípade nie je potrebná skúška správnosti, pretože naša voľba je určená výpočtom, preto si môžeme rovno vypísať len ktoré čísla sa musia nachádzať v ktorom riadku a stĺpci:

\begin{aligned} (1. ~riadok) \quad A, B, C \implies 1, 2, 8 \\ (2. ~riadok) \quad D, E, F \implies 3, 5, 6 \\ --------------\\ (1. ~stĺpec) \quad A, D, G \implies 1, 4, 5 \\ (2. ~stĺpec) \quad B, E, H \implies 2, 6, 7 \\ \end{aligned}

Posledným krokom je vpísať správne tieto čísla do políčok na koberci. Vieme, že každé číslo je na koberci práve raz a preto ak sa nachádza zároveň medzi číslami nejakého riadku aj stĺpca, tak sa bude na koberci nachádzať v ich prieniku, čiže v zdielanom políčku tohoto riadku a stĺpca. To znamená, že číslo 1 je v prvom riadku a prvom stĺpci, číslo 2 je v prvom riadku a druhom stĺpci, číslo 5 je v druhom riadku a prvom stĺpci a číslo 6 je v druhom riadku a druhom stĺpci. Tretí riadok a tretí stĺpec sa doplnia číslami ktoré ešte neboli použité pre príslušný riadok alebo stĺpec, pretože nič iné už nemôžu ovplyvniť a skúšku správnosti sme si spravili už predtým tam kde to bolo potrebné.

Komentár

Všetky odovzdané riešenia mali správny výsledok, ale cesta, ako ste sa k nemu dostali, bola rôzna. V tomto vzorovom riešení si môžete všimnúť niekoľko prístupov a správnu argumentáciu s nimi spojenú. Ak sa rozhodnete logicky vyvodiť, čo je správny výsledok, tak potrebujeme vedieť, ako ste postupovali vo vašich úvahách a o aké pravidlá ste sa opierali. V takom prípade sú pre tento príklad klúčové pojmy: práve jeden, rôzne čísla, prirodzené/celé číslo, prvočíselný rozklad, zložené číslo a prienik. Pokiaľ sa rozhodnete použiť vylučovaciu metódu, tak si musíte skúškou správnosti overiť, že to posledné, čo ostalo, spĺňa všetky nároky. A ako vždy, pokiaľ skúšate všetky možnosti, tak ich musíte vypísať a napísať na základe ktorého pravidla ste danú možnosť vyradili alebo prijali.