9. príklad - Vzorové riešenie

Ako prvé si označíme A_2 priesečník CD s vonkajšou osou uhla pri vrchole A a D_2 priesečník AB s vonkajšou osou uhla pri vrchole D, podobne získame označenia B_2 a C_2.

Ukážeme si dve riešenia tohto príkladu.

1. riešenie

Označíme \alpha vnútorný uhol pri vrchole A. Keďže vonkajší uhol pri vrchole A a vnútorný uhol pri vrchole A dávajú 180°, vonkajší uhol bude 180°-\alpha. Vonkajší uhol pri vrchole D je striedavým uhlom k \measuredangle DAB, teda je tiež veľký \alpha. Os uhla delí \measuredangle ADA_2 na dve rovnako veľké časti, teda |\measuredangle ADD_2| = |\measuredangle A_2DD_2| = \frac{\alpha}{2}. Uhly \measuredangle AD_2D a \measuredangle A_2D_2D sú striedavé, teda aj uhol |\measuredangle AD_2D| = \frac{\alpha}{2}.

Trojuholník DAD_2 má dva vnútorné uhly rovné \frac{\alpha}{2}, musí byť rovnoramenný so základňou DD_2 a teda |AD|=|AD_2|. Os uhla DAD_2 je zároveň ťažnicou rovnoramenného trojuholníka DAD_2, teda P je stredom strany DD_2.

Podobne na druhej strane dostaneme, že R je stredom strany CC_2 a |BC|=|BC_2|.

Teraz sa pozrieme na lichobežník D_2C_2CD. Jeho stredná priečka je PR, keďže P je stredom strany DD_2 a R je stredom strany CC_2. Dĺžka strednej priečky je rovná polovici súčtu základní (dôkaz uvádzame na konci), teda \frac{|D_2C_2|+|DC|}{2}.
Stranu D_2C_2 vieme rozdeliť a to na úsečky D_2A, AB a BC_2. Vieme, že |AD|=|AD_2| a |BC|=|BC_2|, dosadením už získame to, čo sme mali dokázať:

\frac{|AD| + |AB| + |BC| + |DC|}{2}=\frac{o}{2}.

2. riešenie

Z predchádzajúceho riešenia vieme, že trojuholník DAD_2 je rovnoramenný a P je stred strany DD_2. Výška a ťažnica na základňu rovnoramenného trojuholníka sú zhodné, teda AP je výškou tohto trojuholníka, teda trojuholník APD je pravouhlý s pravý uhlom pri vrchole P. Každému pravouhlému trojuholníku vieme opísať Tálesovu kružnicu so stredom v strede prepony, preto ak označme X stred prepony AD, bude platiť |AX|=|XD|=|XP|=r a teda |XP|=\frac{|AD|}{2}.

Bod X je stred strany AD, bod P je stred strany DD_2, teda XP je strednou priečkou trojuholníka ADD_2. Keďže usečka XP je stredná priečka, je XP rovnobežná so stranou AD_2 a je rovnako vzdialená od základne AB ako od základne CD.

Podobne získame, že úsečka YR je rovnobežná so stranou BC_2, |YR|=\frac{|BC|}{2} a jej vzdialenosť od základne AB a základne CD je rovnaká.

Stredná priečka lichobežníka ABCD je úsečka XY, keďže X je stredom AD a Y stredom BC. Platí, že stredná priečka lichobežníka má dĺžku |XY|=\frac{|AB|+|CD|}{2}, je rovnobežná so základňami a jej vzdialenosť od základne AB je rovnaká ako od základne CD. Keďže AB\parallel CD \parallel PX\parallel XY\parallel YR, musia body P, X, Y a R ležať na jednej priamke. Teraz môžeme úsečku PR rozdeliť na úsěcky PX, XY a YR, keďže body X a Y ležia na rovnakej priamke ako PR, teda:

|PR|=|PX|+|XY|+|YR|=

= \frac{|AD|}{2} + \frac{|AB|+|CD|}{2} + \frac{|BC|}{2} =

=\frac{|AB|+|BC|+|CD|+|AD|}{2} = \frac{o}{2}.

Dôkaz dĺžky strednej priečky lichobežníka

Majme nejaký lichobežník ABCD so základňami AB a CD, stredy strán AD a BC označíme X a Y. Budeme predpokladať, že |AB| \ge |CD|, keďže ak |CD| > |AB| , stačí lichobežník prevrátiť. Chceme teda dokázať: |XY| = \frac{|AB|+|CD|}{2}.

Najprv sa pozrieme na prípad, keď |AB| = |CD|, teda keď ABCD je rovnobežník. V takom prípade je celkom zjavné, že |XY| = |AB| = |CD|, teda nám rovnosť platí.

Predĺžime strany AD a BC, ich priesečník označíme T. Všimnite si, že vždy budú mať priesečník a vždy bude nad AB aj nad CD tak, že v trojuholníku \triangle ABT bude úsečka CD.

Keďže AB \parallel DC \parallel XY, tak \triangle ABT, \triangle DCT a \triangle XYT sú podobné, lebo zdieľajú uhol pri vrchole T a uhly \measuredangle TDC, \measuredangle TXY, \measuredangle TAB sú súhlasné a tiež uhly \measuredangle TCD, \measuredangle TYX a \measuredangle TBA sú súhlasné. Teda z podobností platia tieto dve rovnosti:

1. pre \triangle TBA a \triangle TYX platí: \frac{|AT|}{|XT|} = \frac{|AB|}{|XY|}, teda |AB|= \frac{|AT| \cdot |XY|}{|XT|}

2. pre \triangle TCD a \triangle TYX platí:\frac{|DT|}{|XT|} = \frac{|DC|}{|XY|}, teda |CD|= \frac{|DT| \cdot |XY|}{|XT|}.

Sčítaním |AB| a |CD| dostávame:

|AB|+|CD|=\frac{|AT|\cdot |XY|}{|XT|} + \frac{|DT|\cdot |XY|}{|XT|} = \frac{(|AT|+|DT|)\cdot |XY|}{|XT|}.

Keďže X je v strede strany AD, tak |AX|=|XD|, teda |AT|=|DT|+2 \cdot |XD|. Dosadím:

\frac{(|AT|+|DT|)\cdot |XY|}{|XT|} = 2\cdot \frac{(|XD|+|DT|) \cdot |XY|}{|XT|}.

Ale zároveň vieme, že |XD|+|DT|=|XT|, teda:

\frac{2\cdot (|XD|+|DT|) \cdot |XY|}{|XT|} = \frac{2\cdot |XT| \cdot |XY|}{|XT|} = 2\cdot |XY|.

Tým sme dokázali, že |AB|+|CD|=2 \cdot |XY|, teda |XY| = \frac{|AB|+|CD|}{2}.