8. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Od našich hrdinov uteká N trollov. Vieme, že N začína cifrou 3 a druhá jeho cifra nie je nula. Keď odstránime jeho prvú cifru (tú trojku), dostaneme celé číslo M.
  • Určte všetky N, pre ktoré platí N = 25 \cdot M.
  • Určte všetky celé čísla A také, pre ktoré vieme nájsť aspoň jedno N spĺňajúce N=A \cdot M.

Vzorové riešenie

Opravovali: Peter, merlin
Prvá podúloha

Zo zadania platí rovnica N = 25M. Keďže M je N s odstránenou prvou cifrou 3, tak N si ďalej vieme zapísať ako 3 \cdot 10^x + M kde x je počet cifier M. Dosadením do rovnice zo zadania dostávame:

\begin{aligned} N &= 25 \cdot M \\ 3 \cdot 10^x + M &= 25 \cdot M \\ 24M &= 3 \cdot 10^x = 3 \cdot 2^3 \cdot 5^3 \cdot 10^{x-3} \\ M &= 125 \cdot 10^{x-3} \end{aligned}

Teraz vidíme, že aby M bolo celé číslo, musí byť x aspoň 3. Môžeme si to overiť napríklad pre x = 3 3125 = 25 \cdot 125 zároveň ale x môže byť aj akékoľvek celé číslo väčšie ako 3, pretože ak N vynásobíme 10, tak sa 10 vynásobí aj M, a teda N = 25 \cdot M bude stále platiť.

Odpoveď: Vyhovujú všetky N v tvare N = 3125 \cdot 10^x, pre ľubovoľné x väčšie rovné 0.

Druhá podúloha

Začneme rovnako ako v prvej podúlohe, do rovnice N = A \cdot M dosadíme N = 3 \cdot 10^x + M, kde x je počet cifier čísla M:

\begin{aligned} N &= A \cdot M \\ 3 \cdot 10^x + M &= A \cdot M \\ 3 \cdot 10^x &= (A - 1) \cdot M \\ M &= \cfrac{3 \cdot 10^x}{A -1} \end{aligned}

Keďže má číslo M x cifier, tak preň určite platí nerovnosť 10^{x-1} \le M \lt 10^x. Z toho po dosadení do poslednej rovnice vyplíva, že 3 \lt A-1 \le 30. Teraz už len treba nájsť všetky hodnoty A - 1 z tohto intervalu, ktoré delia výraz 3 \cdot 10^x pre ľubovoľné x. Tieto hodnoty sú: 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 24, 25 a 30.

Odpoveď: Zadaniu vyhovujú nasledujúce hodnoty A: 5, 6, 7,9, 11, 13, 16, 17, 25, 26 a 31.