6. príklad - Vzorové riešenie

V úlohách tohto typu o najmenšom spoločnom násobku je veľakrát výhodné použiť aj najväčšieho spoločného deliteľa tých istých čísel.

Nech teda NSD(C,P) = D, potom si môžeme napísať C=D \cdot x a tiež P=D \cdot y pre nejaké vhodné čísla x,y \in \Z^+. Potom nutne podľa definície NSD platí NSD(x,y)= 1. Z tohto vyplýva n=nsn(C,P)=D \cdot x \cdot y. (Toto je dokonca tak známe, že sa to uznáva aj bez NSD(x,y)= 1).

S týmito vyjadreniami sa vráťme k pôvodnej rovnici a upravujme:

\begin{aligned} n &= \frac{4P}{n}~{,} \\ n^2 &= 4P~{,} \\ D^2 \cdot x^2 \cdot y^2 &= 4 \cdot D \cdot y~{,} \\ D \cdot x^2 \cdot y &= 4. \end{aligned}

Táto posledná rovnica je stále v kladných číslach. Máme niekoľko možností, ale všimnime si výhodu tohto postupu oproti slepému skúšaniu hodnôt C{,}~P. Každá kombinácia D{,}~x{,}~y vedie k práve jednému riešeniu (treba si skontrolovať, že NSD(x,y)= 1, čo však u nás bude zjavne platiť) a navyše, žiadne ďalšie riešenia existovať nemôžu. Hodnota x má iba dve možnosti, s tým začneme.

Ak x=2, tak potom nutne D=y=1, čo podľa C=D \cdot x, P=D \cdot y dáva prvé (a v tejto vetve aj jediné) riešenie C=2 a tiež P=1.

Ak x=1, tak potom platí D \cdot y=4 . Vieme, že štvorka sa dá rozložiť 1 \cdot 4=2 \cdot 2=4 \cdot 1=4. Z toho, po použití C=D \cdot x, P=D \cdot y získavame riešenia C=1, P=4; C=2, P=4; C=4, P=4.

V tejto chvíli máme hotovo.

Odpoveď: Dvojice (C,P), ktoré spĺňajú rovnicu v zadaní sú: (2,1),(1,4),(2,4),(4,4).

Komentár

Mnohí z vás niektoré riešenia pozabúdali, iní zase nezdôvodnili, prečo našli všetky. Taktiež ste sa dávali na postupy, ktoré boli založené na skúšaní možností oveľa viac, ako bolo treba.

Vo všeobecnosti, keď je úloha o najmenšom spoločnom násobku alebo najväčšom spoločnom deliteli, nie je na škodu uvážiť postup tohto vzoráku s rozkladom D{,}~x{,}~y.