3. príklad - Vzorové riešenie

Označme si P počet zbraní, ktoré má príšera, a V počet zbraní, ktoré má Vella.

Keby mala Vella o 4 zbrane viac, a príšera dvojnásobok svojich zbraní, Vella by prehrala. Vella by mala teda V+4 zbraní, príšera 2 \cdot P zbraní. Aby Vella v tomto prehrala, musí zo zadania platiť, že príšera by mala aspoň 40 krát toľko zbraní ako Vella. Teda 2 \cdot P \geq 40 \cdot \left( V+4 \right) . Okrem toho podľa zadania platí, že V+P=500 , teda P=500-V . V našej nerovnosti teda dosadíme a dostaneme, že 2 \cdot P = 2 \cdot \left( 500-V \right) \geq 40 \cdot \left( V+4 \right) . Teraz budeme túto nerovnosť upravovať.

\begin{aligned} 2 \cdot \left( 500-V \right) &\geq 40 \cdot \left( V+4 \right) \\ 500-V &\geq 20 \cdot \left( V+4 \right) \\ 500-V &\geq 20 \cdot V + 20 \cdot 4 \\ 500 &\geq 21 \cdot V + 80 \\ 420 &\geq 21 \cdot V \\ 20 &\geq V \end{aligned}

Teda aby platila podmienka zo zadania, musí mať Vella najviac 20 zbraní.
Na záver ešte musíme ukázať, že Vella toľko zbraní naozaj mať môže a podmienky budú splnené. Vieme, že P=500-V=500-20=480 . Potom keby mala Vella o 4 zbrane viac, mala by ich 20+4=24 . Keby mala príšera dvakrát toľko zbraní ako má, mala by ich 2 \cdot 480 = 960 . Teda príšera by mala 960 : 20 = 40 -krát toľko zbraní ako Vella, teda by Vella naozaj prehrala.

Odpoveď:

Vella mohla mať najviac 20 zbraní.

Komentár

Veľa riešiteľov zabudlo zahrnúť poslednú časť, teda overiť, že Vella naozaj môže mať 20 zbraní a prehrá. V príkladoch tohto typu, kde sa snažíme nájsť niečo čo najväčšie, musí riešenie obsahovať dve časti. Keď máme nejaký tip, koľko by to asi mohlo byť, v riešení musíme dokázať, že to nemôže byť viac. V druhej časti musíme ale dokázať aj to, že tento počet naozaj funguje.