1. príklad - Vzorové riešenie

Na začiatku je dobré sa poriadne pozrieť na rovnice v zadaní. Vidíme, že v obidvoch sa nachádza S+K. Toto môžeme využiť, ale najprv si musíme v prvej rovnici osamostatniť S+K:

\begin{aligned}&M \cdot M = O + S + K \quad / -O \\ &M \cdot M - O = S + K \end{aligned}

Teraz vidíme, že máme v oboch rovniciach na jednej strane to isté, takže vieme, že aj tieto rovnice sa rovnajú:

\displaystyle N + 3 \cdot H = M \cdot M - O = S + K

Z tohto vieme, že hmotnosti musíme rozložiť na 3 rovnako veľké časti (máme 3 rovnajúce sa výrazy).

Keďže vieme aké sú jednotlivé hmotnosti, tak vieme vypočítať celkovú hmotnosť zbraní a koľko bude mať každý výraz: (0+1+2+3+4+5) : 3 = 5. Takže po zapísaní do rovnice, máme:

\displaystyle N + 3 \cdot H = M \cdot M - O = S + K = 5

Teraz sa môžeme postupne pozrieť na jednotlivé výrazy. Pozrime sa na N + 3 \cdot H=5 ako prvý: 3\cdot H je väčší z členov a vieme, že jeho hodnota nemôže byť viac ako 5. Tak poďme vyskúšať, akej hmotnosti H môže byť: 3 \cdot 0=0, 3 \cdot 1=3, 3 \cdot 2=6 a tu vidíme, že H nemôže byť 2 a viac, pretože už teraz to je viac ako 5. Z tohto teda vieme, že H je 1 alebo 2.

Teraz pre N môžeme dopočítať možné hodnoty: 5-3 \cdot 0 = 5 a 5-3 \cdot 1 = 2. Takže N je 5 alebo 2.

Keď sa pozrieme ďalej na M \cdot M - O=5, tak vidíme, že M \cdot M \geq 5, lebo odpočítavame nejakú hodnotu O (tá môže byť najmenej 0). Teraz môžeme skúsiť možnosti: 5 \cdot 5 = 25, 4 \cdot 4 = 16, 3 \cdot 3 = 9, 2 \cdot 2 = 4 a ďalej netreba skúšať, lebo ďalej bude vychádzať menej ako 5. Taktiež si môžeme škrtnúť všetky možnosti väčšie ako 3, pretože ako môžeme vidieť, po doplnení O=5 (najväčšia možná hmotnosť) bude ľavá strana viac ako 5 (4 \cdot 4 - 5= 11). Z toho nám teda ostalo M = 3.

Teraz vieme dopočítať O = 3 \cdot 3 - 5 = 4.

Pozrime sa ďalej na S + K=5. V tomto prípade S a K môžu byť hocijaké dvojice z hmotností, ktoré dokopy dávajú 5: 0 a 5, 1 a 4, 2 a 3, 4 a 1, alebo 5 a 0.

Keďže už vieme, aké hodnoty má M a O, tak dvojice s týmito hmotnostami (3,4) môžme vyškrtnúť. S je 0 alebo 5 a K to druhé.

Takže S a K sú 0 alebo 5, túto dvojicu nevieme rozlíšiť, ktoré číslo patrí kam, a teda budeme mať aspoň dve riešenia. Okrem toho vieme aj, že iné čísla tieto hodnoty už nemôžu mať, lebo nám tu vychádzaju pre dve čísla práve dve zbrane.

Doteraz sme priradili čísla 0, 3, 4, 5 a nevieme hmotnosti H,N. Keď sa pozrieme vyššie na H,N, tak vidíme, že nám vychádzali možnosti H=0,N=5 a H=1,N=2. Tu vidíme, že na v prvej možnosti máme použité čísla, ale v druhej nám obe ostali. Z toho vyplíva, že druhá možnosť budú naše H,N.

Odpoveď: Z vyššie uvedeného nám vychádzajú dve možné rozdelenia hmotností:

Komentár

Všetky riešenia mali správne riešenie, ale v podstate všetci ste riešili bez úprav rovníc (rozdelenie hmotnosti na tri časti), čím ste si mohli ušetriť kúsok práce so skúšaním možností. Preto sme použili tento spôsob vo vzorovom riešení.

Okrem toho sa viac krát stalo, že ste napísali niečo na spôsob "to nevychádza" alebo "nemôžeme dosiahnuť", čo síce bola pravda, ale do riešenia treba napísať aj prečo to tak je.