9. príklad - Vzorové riešenie

Ako prvé si všimnime, že naše trojuholníky majú spoločnú stranu. Vieme, že obsah trojuholníka vypočítame ako \frac{1}{2} \cdot a \cdot v_a, kde a je niektorá strana a v_a je výška na ňu. Trojuholníky ABC a BCD majú spoločnú stranu BC a rovnaký obsah. Výška na túto stranu teda musí byť rovnaká. Inými slovami, body A a D musia byť v rovnakej vzdialenosti od BC, a teda priamky AD a BC sú rovnobežné.

Rovnaký postup vieme použiť aj na dvojice trojuholníkov BCD,\, CDE a CDE,\, DEA. Dostaneme tak rovnobežné dvojice CD \parallel BE a DE \parallel CA.

Vráťme sa k zadaniu. Našou úlohou je zistiť niečo o úsečkách BM a NE. Skúsme sa teda zamerať na naše znalosti o bodoch M a N. Oba ležia na úsečke BE, o ktorej vieme, že je rovnobežná s CD. Navyše si môžeme všimnúť, že MC je rovnobežná s DE a ND je rovnobežná s BC. Ľahko si všimneme, že útvary MCDE a NBCD sú rovnobežníky.

O rovnobežníkoch vieme, že ich protiľahlé strany sú rovnko dlhé. To nám konečne dáva nejakú znalosť o dĺžkach úsečiek. Konkrétne dostaneme |ME| = |CD| (z rovnobežníka MCDE) a |NB| = |CD| (z rovnobežníka NBCD). Ich spojením dostaneme |ME| = |NB|. Zostáva už len uvedomiť si, že tieto dve úsečky majú spoločnú časť MN. Jej odčítaním dostaneme |NE| = |MB|, čo sme chceli dokázať.

Komentár

Riešenia mali väčšinou buď malé chyby, alebo boli úplne nesprávne. Veľmi často ste prišli na to, že pravidelný päťuholník zrejme spĺňa aj podmienky zo zadania, aj požadovanú rovnosť, a snažili ste sa ukázať, že ABCDE musí byť vždy pravidelný. To však naozaj platiť nemusí, ako môžete vidieť aj na obrázkoch vyššie. Takéto riešenia body zväčša nedostávali, pokiaľ neodhalili aspoň niektorú rovnobežnosť, ktorá viedla k správnemu riešeniu.