7. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Nájdite všetky nenulové dvojice celých čísel m a n, pre ktoré platí nasledujúca rovnica:
m+\frac1n=n+ \frac1m

Vzorové riešenie

Opravovali: merlin, uršuľa

Rovnicu ekvivalentne upravujeme. Obe strany vynásobíme mn a následne vyjmeme na ľavej strane m a na pravej n.

m+\dfrac{1}{n}=n+\dfrac{1}{m}

m^2n+m=n^2m+n

m(mn+1)=n(mn+1)

Všetko si dáme na jednu stranu a nasledovne upravíme:

m(mn+1)-n(mn+1)=0

(m-n)(mn+1)=0

Vieme že súčin dvoch zátvoriek je rovný 0 ak aspoň jedna zo zátvoriek má hodnotu 0. Čiže v našom prípade buď (m-n)=0 alebo (mn+1)=0. Zároveň potom platí aj naša pôvodná rovnica.

Pokiaľ (m-n)=0 tak potom m=n. Ak sa však (m-n)\neq0, tak potom druhá zátvorka (mn+1) musí byť rovná 0. Potom mn=-1. Uvedomme si, že -1 vieme dostať súčinom dvoch celých čísel len ako súčin -1 a 1. Čiže v našom prípade [m,n] musí byť [-1,1] alebo [1,-1].

Odpoveď: Všetky celočíselné riešenia [m,n] rovnice zo zadania sú [-1,1], [1,-1] a [m,m] (teda m = n).